Supongamos que tenemos n líneas en un plano tales que hay $k_2$ puntos de intersección de dos líneas, $k_3$ puntos de intersección de tres líneas, ... , $k_n$ puntos de intersección de n líneas. ¿En cuántos segmentos está dividido el plano por estas líneas?
La clave aquí es el Característica de Euler
$$\chi=V-E+F$$
del que se puede leer el número $F$ de caras. Para ello se necesita
\begin{align*} V&=\sum_{i=2}^n k_i \\ E&=n+\sum_{i=2}^n i\,k_i \\ \chi&=1 \end{align*}
Puede obtener el valor correcto de $\chi$ a partir de la siguiente consideración: si se intersectara toda la configuración con un gran disco, entonces se obtendría $2n$ puntos de intersección con su límite, lo que contribuye a $V$ pero también $2n$ bordes a lo largo de la frontera, lo que contribuye a $E$ por lo que estas dos se anulan. De ahí la característica del disco, que es $1$ es correcto también para su plano infinito. Otro enfoque sería la proyección estereográfica, que convierte el plano en una esfera (que tiene $\chi=2$ ) pero que además añade un punto más en el infinito que cuenta en $V$ . Como solución más fácil, puedes simplemente hacer un experimento sobre un caso que conozcas para obtener el valor correcto de $\chi$ . O leer en algún otro lugar que la característica del avión es $\chi=1$ .
El número $E$ de aristas se puede obtener de la siguiente manera: originalmente cada línea es una arista. Pero luego las intersectas, y cada punto de intersección entre $i$ líneas dividirá cada una de estas $i$ líneas en dos partes, es decir, añadir un segmento más a cada una de ellas. Así que al final, el número total de segmentos, incluidos los que se van al infinito, está representado por la fórmula dada anteriormente.
De esto se obtiene
$$F=\chi-V+E=1+n+\sum_{i=2}^n(i-1)\,k_i$$
Ejemplos:
Se ve bien en estos casos, así que ahora confío en que debe ser correcto.
Una nota adicional: a menos que tenga líneas paralelas, puede calcular $n$ de la $k_i$ utilizando la ecuación
$$ n^2-n = \sum_{i=2}^\infty (i^2-i)\,k_i $$
Esta es una ecuación cuadrática, pero en general sólo una solución será positiva. Sólo los casos $n=0$ y $n=1$ no se puede distinguir. Por lo tanto, si hay alguna intersección, se puede dar el número de regiones aunque no se conozca explícitamente el número de líneas por adelantado.
La ecuación cuenta esencialmente pares de líneas distintas. En total hay $n$ opciones para una primera línea y $(n-1)$ opciones para una segunda línea para formar un par con eso. En cada vértice hay $i$ líneas y cada una de ellas puede ser emparejada con $(i-1)$ . Como he supuesto líneas no paralelas, cada par de líneas tiene que intersecarse en uno de los vértices, por lo que los dos recuentos tienen que coincidir.
¿Por qué se puede utilizar la característica de Euler? Sólo está definida para grafos planos y poliedros.
@user130039: Según el artículo de Wikipedia al que he hecho referencia, se define para Complejos CW . Pero si vuelves a leer el párrafo sobre cómo encontrar el $\chi$ se puede ver que si se interseca con un disco, se obtiene un grafo plano, y si en cambio se hace la proyección esférica, se obtiene un grafo sobre una esfera que es equivalente a un poliedro.
Ya veo. No entendía por qué proyectar un plano infinito sobre una esfera da como resultado un único vértice extra "en el infinito", y está muy bien explicado ici para quien esté interesado.
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