Sea$ABC$ un triángulo de escaleno angular agudo.

Question

Sea$ABC$ un triángulo de escaleno angular agudo. Sea$P$ un punto de la extensión de$AB$ past$B$, y$Q$ un punto de la extensión de$AC$ past$C$% Es un cuadrilátero cíclico. Sea$BPQC$ el pie de la perpendicular de$N$ a$A$. Si$BC$ demuestra que$NP = NQ$ también es el centro de la circumcircle de$N$.

Answer 1

Desde $BCPQ$ es un cuadrilátero cíclico, el $BC$línea es "antiparalela" a el PQ de la línea. Ya que en general el ortocentro del triángulo $H$ y el circuncentro $O$ son isogonal conjugados, el $AN$-línea pasa por el ortocentro de $ABC$ y el circuncentro de $APQ$. A continuación, a condición de que $N$ se encuentra en la bisectriz perpendicular de $PQ$, $N\equiv O$ es el circuncentro de $APQ$.

Answer 2

Deje que nos indican los ángulos de $\triangle ABC$$\alpha, \beta, \gamma$. Tenga en cuenta que $BPQC$ siendo un cuadrilátero cíclico es equivalente a $\angle AQP = \angle CBA = \beta$. Con $O$ siendo el circuncentro de $\triangle APQ$ tenemos para el centro de ángulo por encima de $PQ$ $$\angle POQ = 2 \angle PAQ = 2\alpha.$$ Por lo tanto en la isósceles $\triangle OPQ$ tenemos $$\angle OPQ = \angle OQP = (180 - 2\alpha)/2 = 90-\alpha.$$ Ahora podemos calcular $$\angle AQO = \angle AQP - \angle OQP = \beta - (90 - \alpha) = 90 - \gamma.$$ En isósceles $\triangle AOQ$ hemos $$\angle OAQ = \angle AQO = 90 - \gamma,$$ que es el mismo que $\angle NAC$. Por lo tanto $N$$OA$. Desde $O$ $N$ están en la mediatriz de $PQ$ $\triangle APQ$ es escaleno (como $\triangle ABC$) $O$ $N$ deben de coincidir. q.e.d.

Answer 3

Vamos a escribir $\angle CAB=\beta,\angle ACB=\gamma,$ $\angle NPQ=\theta=\angle NQP$ (dado que el triángulo $PNQ$ es isósceles). Desde $BPQC$ es cíclica, $\angle APQ=\angle ACB=\gamma$, y por lo $\angle NPA=\gamma-\theta$. También, $\angle NAP=\angle NAB=\frac12\!\pi-\beta$ desde $NA\perp NB$. Del mismo modo, $\angle NQA=\beta-\theta$$\angle NAC= \frac12\!\pi-\gamma$. La aplicación de la regla del seno de triángulos $NPA$ $NPQ$ da $NP/NA=\sin(\frac12\!\pi-\beta)/\sin(\gamma-\theta)$ $NQ/NA=\sin(\frac12\!\pi-\gamma)/\sin(\beta-\theta)$ respectivamente. Estas relaciones son iguales, y por lo $$\sin(\beta-\theta)\cos\beta=\sin(\gamma-\theta)\cos\gamma.$$This may be written $\sin(2\beta-\theta)-\sin\theta=\sin(2\gamma-\theta)-\sin\theta$ or$$\sin(2\beta-\theta)=\sin(2\gamma-\theta).$$Since $\beta\neq\gamma$, we have $$2\beta-\theta=\pi-(2\gamma-\theta),$$ or $\theta=\beta+\gamma-\frac12\!\pi$. Then $\ángulo de NPA=\gamma\theta=\frac12\!\pi-\beta=\ángulo de la SIESTA$. It follows that $NA=NP=NQ$, and hence $N$ is the circumcentre of triangle $APQ$.

Answer 4

El círculo rojo ($\pi$) circum-escribas APQ. Producir UNA para cortar ($\pi$) en la G.

$\gamma = \delta$ .... [ext. ángulos cíclico quad.]

$= \epsilon$ .... [ángulos en el mismo segmento]

Esto significa, $BNGP$ es cíclico. Esto supone, además, $\alpha = \beta = 90^0$

Por lo tanto, ANG es el diámetro de $\pi \tag 1$

Deje $H$ ser el punto medio de la $PC$ [EDITAR:- $PQ$ lugar]. A continuación, $\triangle NHP \cong\triangle NHQ$.

Por lo tanto, $NH$ es la mediatriz de la cuerda $PQ \tag 2$

$N$ es la intersección de (1) y (2) implica que N es el centro de la $\pi$.