Reducido grupo de homología de cuña suma

Question

Deje $X$ ser espacio de Hausdorff y deje $x \in X$ que no es un barrio cerrado $U$ tal que $\{x\}$ es una fuerte deformación de retractarse de $U$. Si $Y$ es otro espacio de Hausdorff, me gustaría mostrar la inclusión de mapas de inducir isomorphisms

$$\tilde{H}_p(X) \oplus \tilde{H}_p(Y) \to \tilde{H}_p(X \vee Y)$$

donde $X \vee Y = X \times \{y\} \cup \{x\} \times Y$ algunos $y \in Y$. Desde $H$ podría ser cualquier homología teoría, tengo que derivan directamente de los Eilenberg - Steenrod axiomas. Yo probablemente necesitará utilizar el axioma de aditividad que establece que para un espacio de $X = \coprod X_i$, la inclusión de mapas de inducir un isomorfismo

$$\bigoplus H_n(X_i) \to H_n(X)$$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo se relacionan $X \coprod Y$$X \vee Y$. Me gustaría solucionar este problema sin el uso de Mayer - Vietoris. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Considere la posibilidad de un par de $(X \lor Y, X)$. Deje $Z = X - U$. Por la escisión axioma, la inclusión $(X \lor Y - Z, X - Z) \subset (X \lor Y, X)$ induce isomorfismo en la homología. Como hemos fuerte deformación de retracción de $U$$x_0$, y desde $(X \lor Y - Z, X - Z) = (U \lor Y, U)$, se obtiene una deformación de retracción de un par de $(U \lor Y, U) \to (Y, x_0)$, y el homotopy axioma dice que esto induce a isomorfismo en la homología. A la inversa está dada por el mapa dada por la inclusión. En general, tenemos que la inclusión $(Y, x_0) \to (X \lor Y, X)$ induce un isomorfismo. Este mapa tiene una evidente izquierda inverso $(X \lor Y, X) \to (Y, x_0)$ que los contratos de $X$ a un punto. Por fácil categórica consideraciones, este mapa también se debe inducir un isomorfismo en la homología.

Ahora, considere el largo de la secuencia exacta para el par $(X \lor Y, X)$:

$\cdots \to \tilde{H}_n(X) \to \tilde{H}_n(X \lor Y) \to \tilde{H}_n(X \lor Y, X) \to \tilde{H}_{n-1}(X) \to \cdots$

El mapa de $\tilde{H}_n(X) \to \tilde{H}_n(X \lor Y)$ es inducida por la inclusión de $(X, x_0) \to (X \lor Y, x_0)$. Es obvio que la izquierda inversa a esta inclusión, un mapa de $(X \lor Y, x_0) \to (X, x_0)$ que los contratos de $Y$ $X \lor Y$ a un punto. Como este mapa ha dejado inversa, el mapa inducida en la homología también ha dejado inversa, por lo que es un monomorphism, y tenemos una secuencia exacta $0 \to \tilde{H}_n(X) \to \tilde{H}_n(X \lor Y)$

Del mismo modo, considere la posibilidad de $\tilde{H}_n(X \lor Y) \to \tilde{H}_n(X \lor Y, X)$. Como este mapa también es inducida por la inclusión $(X \lor Y, x_0) \to (X \lor Y, X)$, y de la consideración anterior sabemos que la contracción de la $(X \lor Y, X) \to (Y, x_0)$ induce un isomorfismo, consideramos que la composición de estos dos. Este mapa tiene un derecho inversa dada por la inclusión de $(Y, x_0) \to (X \lor Y, x_0)$, lo que induce a la izquierda inversa para un mapa de $\tilde{H}_n(X \lor Y) \to \tilde{H}_n(Y)$, lo que necesariamente es un epimorphism. Ahora la componen con la inversa de la isomorfismo $\tilde{H}_n(Y) \to \tilde{H}_n(X \lor Y, X)$ para obtener ese $\tilde{H}_n(X \lor Y) \to \tilde{H}_n(X \lor Y, X)$ es también epimorphism, y de este modo obtenemos una secuencia exacta $\tilde{H}_n(X \lor Y) \to \tilde{H}_n(X \lor Y, X) \to 0$. Recuerde que hemos compuesto con el isomorfismo inverso al $\tilde{H}_n(X \lor Y, X) \to \tilde{H}_n(Y)$ hemos usado anteriormente, por lo que aquí en esta secuencia exacta, el mapa de $\tilde{H}_n(X \lor Y) \to \tilde{H}_n(X \lor Y, X)$ es el mismo como en la secuencia exacta.

Finalmente, ponemos en contacto a estos dos exacta secuencias para obtener una breve secuencia exacta:

$0 \to \tilde{H}_n(X) \to \tilde{H}_n(X \lor Y) \to \tilde{H}_n(X \lor Y, X) \to 0$

Como el primer mapa es inducida por la inclusión y tiene derecho inversa hemos mencionado anteriormente, se obtiene que este s.e.s. dividida, por lo $\tilde{H}_n(X \lor Y) \simeq \tilde{H}_n(X) \oplus \tilde{H}_n(X \lor Y, X) \simeq \tilde{H}_n(X) \oplus \tilde{H}_n(Y)$.

Tenga en cuenta que la suma axioma no fue utilizado.