Endomorfismos del functor olvidadizo$\mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$

Question

Es bien sabido endomorphisms de fieles functor formar un monoid. Yo estaba tratando de determinar monoid de endomorphisms de olvidadizo functor $\mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$, y la encontraron multiplicativo monoid de $\mathbb{Z}$. La prueba va como esto:

Deje $U$ ser el olvidadizo functor, y $\theta\colon U \to U$ una transformación natural. Considere la posibilidad infinita grupo cíclico $A=\left<a\right>$. Tenemos $\theta_A(a) = a^k$ para algunos entero $k$. Ahora toma arbitraria de grupo $G$$g\in G$, y considerar la posibilidad de homomorphism $f\colon A\to G$ determinado por $f(a) = g$. Claramente, $$ \theta_G\left(g\right) = \theta_G\left(f\left (\right)\right) = \left(\theta_G \circ f\right)\left (\right) = \left(f\circ \theta_A\right)\left (\right) = f\left(\theta_A(a)\right) = f(a^k)=\left(f(a)\right)^k = g^k $$ la única que no sea trivial igualdad verdadera por connaturalidad de $\theta$, y así endomorphisms de $U$ corresponden a números enteros, la composición dada por la multiplicación.

Ahora, para las preguntas...

• Es el de arriba, ¿correcto? Sin duda parece ser, pero creo que tiene algo de inquietante, especialmente desde...

• ... el mismo razonamiento parece aplicar a $\mathbf{Ab}\to \mathbf{Set}$. Es la misma verdad para $\mathbf{Ab}$? Me gustaría intuitivamente esperar más ricos de la estructura en la nonabelian caso.

• El papel desempeñado por el grupo cíclico ($\mathbb{Z}$) parece digno de consideración adicional. Sé $\mathbb{Z}$ es un generador (separador) en $\mathbf{Grp}$, pero no parece que conducirá inmediatamente a cualquier tipo de generalizaciones. ¿Hay alguna conexión entre endomorphisms de olvidadizo functor y separadores? O algunos otros relacionados con la noción?

• ¿Qué acerca de algunos de los "más abstracto" las formas de responder a tales preguntas? Es decir, en lugar de elemento persiguiendo tal vez alguna variante de Yoneda lema para la adecuada enriquecido categorías?

Answer 1

La prueba es correcta. Aquí es un corto de prueba utilizando el Yoneda Lema (en realidad, han demostrado que la Yoneda Lema en un caso especial, lo hacemos todo el tiempo sin saberlo):

El functor $U$ es representable por $\mathbb{Z}$ (desde un elemento de un grupo es el mismo que el de un homomorphism de $\mathbb{Z}$). Por lo tanto, la Yoneda Lema nos dice $$\mathrm{Hom}(U,U) \cong \mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(\mathbb{Z},-),U) \cong U(\mathbb{Z}),$$ el conjunto de los números enteros.

Más generalmente, si $C$ es cualquier variedad de estructuras algebraicas con olvidadizo functor $U : C \to \mathsf{Set}$, $\mathrm{Hom}(U^n,U)$ corresponde a la base de la libre $C$-álgebra en $n$ generadores. Usted puede imaginar a estos como "universales $n$-ary operaciones". Por ejemplo, para $C=\mathsf{Ring}$ $n=2$ este tipo de operación es $x^2 - xy + y^2$.

De las cosas más interesantes que suceder para que no algebraicas categorías. Por ejemplo, considere el olvido functor $U : \mathsf{FinGrp} \to \mathsf{Set}$ a partir de la categoría de finito de grupos. Aquí, $U$ no es representable, pero es ind-representable: Tenemos un isomorfismo canónico $$U \cong \varinjlim_n \,\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/n,-)$$ Por lo tanto: $$\mathrm{Hom}(U,U) \cong \varprojlim_n \,\mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/n,-),U) \cong \varprojlim_n U(\mathbb{Z}/n),$$ que es el conjunto subyacente de la pro-finito de finalización de la $\widehat{\mathbb{Z}}$. Si $(\overline{z_n})_n$ es un elemento en el $\widehat{\mathbb{Z}}$, la correspondiente operación de grupos finitos asigna un $n$-torsión elemento $g$$g^{z_n}$. Esto está bien definido precisamente porque tenemos $z_n \equiv z_m \bmod n$$n | m$. Conseguimos los mismos resultados cuando trabajamos con la categoría mayor de la torsión de los grupos.

En general, si desea determinar $\mathrm{Hom}(U,U)$ para cualquier functor, tratar de escribir $U$ como colimit de representable functors $\mathrm{Hom}(X_i,-)$ (esto es siempre posible, aunque, en general, algo tautológica), a continuación, $\mathrm{Hom}(U,U)$ es el límite de la $U(X_i)$.