si $\operatorname{Res}_{z_0}f = 0$ entonces $f$ tiene una primitiva en alguna vecindad borrada de $z_0$

Question

Dejemos que $z_0$ sea una singularidad aislada de $f$ . Demostrar que si $\operatorname{Res}_{z_0}f = 0$ entonces $f$ tiene una primitiva en alguna vecindad borrada de $z_0$

Sé que si asumimos $f$ tiene una primitiva, entonces podemos utilizar el teorema de Morera para demostrar que $\operatorname{Res}_{z_0}f = 0$ . Pero, no sé cómo hacer el lado opuesto. ¿Puede alguien mostrarme cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Basta con mirar la serie de Taylor (o de Laurent si tiene términos negativos) de $f$ . El único término sin antiderivada es el $x^{-1}$ término. Pero aquí, eso es cero. Así que podemos antidiferenciar la serie de Taylor término a término. Llamamos a esta función $g$ . Utilizar los hechos sobre la convergencia compacta uniforme de $f$ para justificar la convergencia de $g$ . Del mismo modo, verá que $g'=f$ .