Colección incontable

Question

¿Existe una innumerable colección de subconjuntos compactos disjuntos de la línea real de manera que cada elemento de la colección sea incontable?

Gracias.

Answer 1

Existe un continuo surjection de $[0,1]$ a $[0,1]\times[0,1]$. Por ejemplo, la curva de Peano. De selección de la función y se denota por a $f$.

Para cada $r\in[0,1]$ considera $A_r=f^{-1}(\{r\}\times[0,1])$. Esta es la preimagen de un conjunto cerrado en virtud de una función continua, por lo tanto, $A_r$ es cerrado, y es un subconjunto de a$[0,1]$, por lo que es acotada. Por lo tanto es compacto.

Finalmente, $[0,1]$ es la unión de todos los $A_r$'s y hay $2^{\aleph_0}$ de ellos, cada uno puede ser asignada a un conjunto de tamaño continuo, y por lo tanto es incontable.

Por lo $\{A_r\mid r\in[0,1]\}$ es una innumerable colección de pares distintos, innumerables conjuntos compactos.

Answer 2

Sí. Para$t=(t_1,t_2,\dots)\in\{1,2\}^\mathbb N$, sea$A_t$ el conjunto de todos los números reales cuya fracción continuada es$$ \frac1{a_1+\frac1{t_1+\frac1{a_2+\frac1{t_2+\frac1{\dots}}}}} $$ where each $ a_i$ is $ 3% #% A_t $ son parejas disjuntos.

Por supuesto, que he utilizado sólo los números$ or $ -$. This is a Cantor set, and the $ en las fracciones continuadas es irrelevante. Para ilustrar la flexibilidad del método, véase aquí un resultado relacionado.