Considere la ecuación diferencial ordinaria$$y''=xyy'$ $ Estoy bastante perplejo, por lo que algunos consejos sobre cómo proceder? Parece bastante simple, pero estoy dibujando un espacio en blanco.
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freethinker
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En las dimensiones, los dos términos se $Y/X^2$$XY^2/X$. Para hacer que coincidan, las dimensiones son de $Y=X^{-2}$.
Deje $w=x^2y$, se vuelve homogénea en $x$.
$$\frac{ps}{dx}=2xy+x^2y'\\ \frac{d^2}{dx^2}=2y+4xy'+x^2(xyy')\\
$$
Usted debe convertir en la segunda ecuación a sólo $w$$x$, utilizando la primera ecuación para deshacerse de $y$.
Doblando $x$ ahora no tiene ningún efecto en la ecuación. Así que añadir una constante a $\ln x$ no tiene ningún efecto en la ecuación. Para convertir a $t=\ln x$, hallar la ecuación de la $w(t)$. $t$ no aparecen de forma explícita en la ecuación; sólo $w,\frac{dw}{dt}$$\frac{d^2w}{dt^2}$.
¿Conoce usted a un método para reducir el orden de una DE al $t$ no aparecen de forma explícita?
No estoy seguro de si esto realmente cuenta como una respuesta, pero me gustaría ver si este trabajo de acuerdo a @Miguel sketch es a lo largo de la pista de la derecha.
Como él menciona, como en el paso 1 nos homogeneizar las unidades mediante el establecimiento $w(x)=x^2y(x)$, y obtener una ecuación diferencial para $w$:
$$ x^2w'' = -6w-2w^2+4xw'+xww' .$$
A continuación (paso 2) hacemos un cambio de coordenadas para eliminar la explícita de la variable dependiente, establecimiento $t= \ln x$. Observe que
$$ \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t} \frac{1}{x} $$
y del mismo modo
$$ \frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2}= -\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}t^2} .$$
Así que ahora con $'$, lo que indica la diferenciación con respecto a $t$, tenemos
$$w'' = -6w-2w^2+5w'+ww' .$$
Para el paso 3, lo que sugiere que reducir el pedido a una de primer orden de la ecuación diferencial. Escribir $v:=w'$. Entonces
$$ \frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w}\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} v ,$$
Así que ahora dejando $'$ indican diferenciación con respecto a los $w$, obtenemos
$$ v'v-(w+5)v=-6w-2w^2 .$$
EDIT: he encontrado una solución fácil; hubiera sido hacer errores tontos. Las soluciones de esta ecuación diferencial se $v=2w$ $v \equiv 0$ que producir soluciones donde $y$ es constante o $y$ es proporcional a $x^{-2}$.
