Mostrar$n$ es perfecto iff$\sum\limits_{k=1}^{n-2}k\left\lfloor\frac{n}k\right\rfloor=1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\left\lfloor\frac{n-1}k\right\rfloor$

Question

Así que la pregunta es:

Demostrar que $n$ debe ser un número perfecto de la $\iff$

$$\sum_{k = 1}^{n - 2}k\left \lfloor\frac{n}{k}\right \rfloor = 1 + \sum_{k = 1}^{n - 1}k \left \lfloor \frac{n - 1}{k}\right\rfloor $$

He intentado buscar hasta casi perfecto números y encontré esta ecuación exacta en Wolfram Alpha Mathworld, pero todo lo que se dijo fue que no estaba probado que el $n$ tuvo que ser iguales que un número perfecto, pero no sé cómo demostrarlo. Mi amigo Harry me dio esta pregunta sabiendo que yo no he sido enseñado las habilidades para probar algo como esto, pero él me dio una pista:

$$\sum_{k = 1}^{2^p - 1}k = \sum_{k = 1}^{2^{(p - 1)/2}}(2k + 1)^3 = (2^{p - 1})(2^p - 1) = P | σ(P) = 2P \wedge p = prime$$

Podría alguien por favor me ayude y me diga qué significa esto y cómo iba yo a decir estas ecuaciones? Me di cuenta de que $2^p - 1 = M_p \iff 2^p - 1 = prime$ tal que $M_p$ es una de Mersenne prime. También me di cuenta de que $P$ debe ser un número perfecto de la $\because P = (2^{p - 1})(2^p - 1)$ y $σ(P) = 2P$ siendo el divisor de la función de $P$. Yo también sé lo que la gran sigma $\sum$ medios (que significa la suma total o algo así). Todo esto es gracias a Wolfram Alpha.

Pero el resto, no sé qué hacer. ¿Cómo puedo resolver algo como esto?

Answer 1

La ecuación para ser considerado para $n$ es $$ \sum_{k=1}^{n-2} k \left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k \left\lfloor \frac{n-1}{k} \right\rfloor $$ y asumimos $n>2$.

Si añadimos $(n-1)\left \lfloor \frac{n}{n-1} \right\rfloor + n \left\lfloor \frac{n}{n}\right \rfloor + (n-1)\left\lfloor \frac{n-1}{n}\right\rfloor= (n-1) + (n) + (0) = 2 n - 1$ $n>2$ tanto en el lado izquierdo y derecho, podemos reescribir la ecuación como $$ \sum_{k=1}^{n} k \left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor = 1 + (2n-1) + \sum_{k=1}^{n} k \left\lfloor \frac{n-1}{k} \right\rfloor $$ Llevando ambas sumas a la izquierda y la combinación de ellos, a continuación, da: $$ \sum_{k=1}^{n-2} k \left( \left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n-1}{k} \right\rfloor\right)= 2 n. $$ En el lado izquierdo, ahora tenemos una suma de términos de la forma: $$ \left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n-1}{k} \right\rfloor $$ Desde $n$ $n-1$ sólo se diferencian por 1, estos términos sólo puede ser 1 o 0 cuando $k$ divide $n$ respectivamente cuando no. Tan sólo para $k|n$ hay un no-cero aporte a la izquierda. Por lo tanto, encontrar la ecuación $$ \sum_{k|n}^{n} k \left( \left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n-1}{k} \right\rfloor\right)= \sum_{k|n}^{n} k = 2 n $$ que es justo la definición de un número perfecto y establece la equivalencia.