¿Se caracteriza la transformada de Fourier por sus propiedades de diagonalización?

Question

Fijemos la siguiente convención para la transformada de Fourier en $L^1(\mathbb{R})$ espacio: $$\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\, e^{-2\pi i x\xi}\, dx.$$ Tenemos entonces las siguientes propiedades: \begin {align} \tag {1} \displaystyle \left [ \frac {df}{dx} \right ]^ \hat {}( \xi )=2 \pi i \xi\ , \hat {f}( \xi ); \\ \tag {2} \displaystyle \left [ -2 \pi i x\N, f \right ]^ \hat {}( \xi )= \frac {d \hat {f}}{d \xi }( \xi ); \\ \tag {3} \displaystyle \hat {f}(0)= \int_ {- \infty }^ \infty f(x)\N-, dx. \end {align}

Pregunta Dejemos que $K(x, \xi)$ sea una función acotada. Supongamos que la transformada integral $$Tf(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)K(x, \xi)\, dx,\quad f \in L^1(\mathbb{R})$$ satisface las propiedades (1), (2) y (3). ¿Es cierto que $K(x, \xi)=\exp(-2\pi i x\xi)$ ?

La motivación de esta pregunta viene del hecho de que se puede evaluar $$\hat{G}(\xi)=\left[ \exp(-\pi x^2)\right]^\hat{}$$ utilizando únicamente las propiedades (1), (2) y (3). Esto se hace transformando de Fourier ambos lados de la identidad diferencial $$\frac{d}{dx}e^{-\pi x^2}=-2\pi x\, e^{-\pi x^2},$$ obteniendo el problema de Cauchy $$ \begin{cases} -2\pi \xi\, \hat{G}(\xi)=\frac{d}{d\xi}\hat{G}(\xi) \\ \hat{G}(0)=1 \end{cases} $$ cuya solución única es $$\hat{G}(\xi)=\exp(-\pi\,\xi^2).$$

Answer 1

Aparte de algunas argucias para asegurarse de que $K$ es suficientemente integrable o algo así... esto es cierto. Por ejemplo, para la precisión, tome $K$ para ser una distribución templada en dos variables. Utilizando la hipótesis de que $2\pi ix\cdot T=T\cdot {d\over dx}$ como operadores sobre funciones de Schwartz, (pensando en " $x$ " como multiplicación por $x$ ), la integración por partes en la integral para $T$ da ${\partial\over \partial y}K(x,y)=2\pi i x\cdot K(x,y)$ como distribución templada en dos variables. Esto tiene soluciones clásicas obvias $C\cdot e^{2\pi ixy}$ como era de esperar. Para demostrar que no hay otras, entre las distribuciones templadas, una forma es dividir $K(x,y)$ por $e^{2\pi ixy}$ por lo que la ecuación se convierte en ${\partial \over \partial y}K(x,y)=0$ . Por simetría, ${\partial\over \partial x}K(x,y)=0$ . Integrar, $K(x,y)$ es una distribución templada invariable por traslación en dos variables. Es un ejercicio aparte ver que todas ellas son constantes.

Edito: en respuesta al comentario de @GiuseppeNegro (aparte de corregir el signo), el ejercicio secundario de demostrar que la desaparición de los primeros parciales implica que una distribución atemperada es (integra- contra-) una constante tiene diferentes soluciones dependiendo del contexto de cada uno, creo. Incluso en una sola variable, mientras que podemos invocar instantáneamente el teorema del valor medio para demostrar que una función con valores puntuales es constante cuando es diferenciable y tiene derivada evanescente, ese argumento literal no se aplica inmediatamente a las distribuciones. En una sola variable, la integración por partes demuestra que $u'=0$ para la distribución $u$ implica que $u(f')=0\,$ para todas las funciones de prueba $f$ , y podemos caracterizar tales $f$ es decir, que sus integrales sobre toda la línea son $0$ , a partir de la cual un pequeño argumento más demuestra que $u$ es una constante. Este tipo de argumento parece ser un poco más feo en más de una variable... y, en cualquier caso, tiendo a favorecer un argumento ligeramente diferente que es un caso especial de probar la unicidad de varios funcionales invariantes de grupo. Por ejemplo, en un grupo de Lie real $G$ hay un derecho único $G$ -(=funcional en las funciones de prueba), y es una medida de integración contra Haar derecho. El argumento es esencialmente sólo el intercambio de la funcional y la integración contra una identidad aproximada, justificada en el contexto de las integrales (débiles) de Gelfand-Pettis. Probablemente hay argumentos más elementales, pero este tipo de enfoque parece más claro y más persuasivo a largo plazo.

Edit-Edit: en un grupo de Lie $G$ para demostrar que todas las distribuciones aniquiladas por la izquierda $G$ -operadores diferenciales invariantes unidos al álgebra de Lie $\mathfrak g$ (que actúan a la derecha) son constantes (de integración): Sea $f_n$ sea una secuencia de Dirac de funciones de prueba. Una función de prueba $f$ actúa sobre las distribuciones por $f\cdot u=\int_G f(g)\,R_gu\;dg$ , donde $R$ es la traslación a la derecha, y la integral es valorada por la distribución (por ejemplo, Gelfand-Pettis). Una propiedad básica de las integrales vectoriales es que $f_n\cdot u\to u$ en la topología sobre las distribuciones. Al mismo tiempo, la distribución $f_n\cdot u$ es una función (de integración contra) suave. Es aniquilada por todos los operadores invariantes de primer orden, así que por el Teorema del Valor Medio es (integración contra) una constante. El límite distributivo de las constantes es una constante.