El Área de Superficie es la derivada del Volumen, ¿cuál es la derivada del Área de Superficie?

Question

Considera una esfera por ejemplo.

Su volumen se calcula mediante la fórmula: $\frac 4 3 \pi r^3$

La derivada de eso es $4\pi r^2$ que representa el área superficial de la esfera.

La derivada de eso es $8\pi r$.

¿Esa cantidad representa algo tangible acerca de una esfera? Claramente, es algún tipo de medida lineal, pero de qué, no estoy seguro.

Solo curiosidad.

Answer 1

Tal vez primero revisemos por qué la derivada del volumen es el área de la superficie: Es porque $4\pi r^2 \,dr$ es el cambio incremental en volumen cuando se aumenta el radio por $dr$. Tiene sentido que $4\pi r^2$ sea el área de la superficie ya que entonces $4\pi r^2\,dr$ es el volumen de una cáscara esférica, que representa el volumen agregado.

Entonces es cierto que $ 8\pi r \,dr $ es el cambio incremental en el área de la superficie cuando aumentamos el radio de la esfera en $dr$. Pero ¿existe una manera clara de visualizar la diferencia en el área de la superficie en términos de un objeto geométrico? No puedo pensar en ninguna.

Answer 2

Dé un paso atrás y recuerde qué es una derivada: la tasa de cambio.

Imagina una esfera, luego imagina pintarla. La cantidad de pintura que usas se basa en el área de la superficie, y se convierte en parte del volumen de una nueva esfera. La tasa de cambio del volumen de la esfera es igual al área de la superficie de la esfera. El exterior de la pintura es el nuevo límite de la esfera, y el interior de la pintura se añade al volumen. Esto explica por qué la derivada (tasa de cambio) del volumen es el área de la superficie (SA).

En espacio de $4$ dimensiones, el análogo de la SA es la derivada del análogo de Volumen de una esfera de $4$D.

De wikipedia ($3$-esfera):

La hiperárea cúbica de $3$ dimensiones de una $3$-esfera de radio $r$ es $$2 \pi^2 r^3$$ mientras que el hipervolumen cuártico de $4$ dimensiones (el volumen de la región en $4$ dimensiones delimitada por la $3$-esfera) es $$\frac{1}{2} \pi^2 r^4$$

Si volvemos al espacio de $3$ dimensiones, el área de la superficie de un cubo es la derivada del volumen de un cubo si usas $\frac{s}{2}$ como base de medida (esto refleja que usamos el radio y no el diámetro para la mayoría de los cálculos de esferas).

La forma usual de escribirlo es:

$$V=s^3$$

$$\text{SA} = 6s^2$$

En lugar de usar ($\frac{s}{2})$:

$$V = 8(\frac{s}{2})^3$$

$$\text{SA} = 24(\frac{s}{2})^2 $$

Cuando se simplifican, las fórmulas son las mismas, pero en el segundo ejemplo la SA es la derivada del volumen. De manera similar, el perímetro de un cuadrado es la derivada de su área si se usa ($\frac{s}{2}$).

No conozco otros sólidos para los cuales esto sea cierto. (Un icosaedro regular casi funciona, pero no es exactamente así.)

Answer 3

Una identidad general dice \begin{align} & \Big(\text{Tamaño de la frontera}\Big) \times \Big( \text{Velocidad de movimiento de la frontera} \Big) \\[5pt] = {} & \Big( \text{Tasa de cambio del tamaño de la región acotada} \Big) \tag 1 \end{align> (Esta igualdad no tiene un nombre estándar que yo sepa; a veces la he llamado la regla de la frontera.)

Se puede ver de la siguiente manera: $$ \frac{d(\text{Tamaño de la región acotada})}{d(\text{ubicación de la frontera})} = \text{Tamaño de la frontera} $$ En particular $$ \frac{d(\text{Volumen de la esfera})}{d(\text{radio de la esfera})} = \text{Área de la superficie de la esfera} $$ ¿Podemos ver la superficie de la esfera creciendo por virtud del movimiento de una frontera, cuando el radio crece? No sé cómo hacer eso, ni cómo encontrar algún tipo de tamaño de dicha supuesta frontera, ni qué significaría hablar de la cantidad por la cual cambia la ubicación de dicha frontera (y por lo tanto hablar de una tasa de movimiento de la frontera).

Por lo tanto, no veo cómo se puede dar una interpretación geométrica de la segunda derivada. Sin embargo, el hecho de que no sepa cómo hacerlo no significa que no se pueda hacer. Pero sí hace preguntarse por qué estoy escribiendo esta respuesta. Parte de la razón es que sé cómo hacer tal cosa con un cubo.

Considera el cubo $[0,s]^n$ en el espacio euclidiano $n$-dimensional. A medida que $s$ cambia, hay $n$ fronteras móviles, cada una de las cuales es un cubo de dimensión $(n-1)$ $$ \underbrace{ \cdots \times [0,s]\times \cdots \times [0,s]} {} \times \{s\} \times {} \underbrace{[0,s]\times \cdots \times [0,s]\times\cdots} {}. $$ El volumen de esta frontera es $s^{n-1}$ y su velocidad de movimiento es la tasa de cambio de $s$, y así, a partir de $(1)$ concluimos que $\dfrac{ds^n}{ds} = ns^{n-1}.$ El factor $n$ delante de $s^{n-1}$ proviene del hecho de que así es como muchas fronteras hay.

Entonces, ¿qué pasa con la segunda derivada? Algunos de esos $n$ componentes de toda la frontera interfieren con otros y algunos interfieren con los hiperplanos de coordenadas $(n-1)$-dimensionales inmóviles. Esas últimas interfaces constituyen la "frontera de la frontera". Cada uno de los componentes de dimensión $(n-1)$ de la frontera del cubo completo tiene $n-1$ componentes de dimensión $(n-2)$ en su frontera. Por lo tanto, $n(n-1)s^{n-2}$ es el tamaño de la "frontera de la (parte móvil de la) frontera".

¿Cómo se puede aplicar tal idea a la esfera? En este punto no lo sé . . .