La Área de Superficie es la derivada del Volumen, ¿cuál es la derivada de la Área de Superficie?

Question

Considera una esfera por ejemplo.

Su volumen se calcula mediante la fórmula: $\frac 4 3 \pi r^3$

La derivada de eso es $4\pi r^2$ que representa el área superficial de la esfera.

La derivada de eso es $8\pi r$.

¿Representa esa cantidad algo tangible sobre una esfera? Claramente, es alguna especie de medida lineal, pero de qué, no estoy seguro.

Solo por curiosidad.

Answer 1

Tal vez primero revisemos por qué la derivada del volumen es el área de la superficie: Es porque $4\pi r^2 \,dr$ es el cambio incremental en el volumen cuando incrementas el radio por $dr.$ Tiene sentido que $4\pi r^2$ sea el área de la superficie ya que entonces $4\pi r^2\,dr$ es el volumen de una capa esférica, lo cual representa el volumen añadido.

Así que es cierto que $ 8\pi r \,dr $ es el cambio incremental en el área de la superficie cuando incrementamos el radio de la esfera por $dr.$ Pero, ¿existe una manera sencilla de visualizar la diferencia en el área de la superficie en términos de un objeto geométrico? No se me ocurre ninguna.

Answer 2

Da un paso atrás y recuerda qué es una derivada: la tasa de cambio.

Imagina una esfera, luego imagina pintarla. La cantidad de pintura que uses se basa en el área superficial, y se convierte en parte del volumen de una nueva esfera. La tasa de cambio del volumen de la esfera es igual al área superficial de la esfera. El exterior de la pintura es el nuevo límite de la esfera, y el interior de la pintura se agrega al volumen. Esto explica por qué la derivada (tasa de cambio) del volumen es el área superficial (SA).

En el espacio dimensional $4$, el análogo de la SA es la derivada del análogo del Volumen de una esfera en $4$D.

De wikipedia ($3$-esfera):

El hiperárea cúbica tridimensional de una $3$-esfera de radio $r$ es $$2 \pi^2 r^3$$ mientras que el hipervolumen cuártico cuatridimensional (el volumen de la región cuatridimensional delimitada por la $3$-esfera) es $$\frac{1}{2} \pi^2 r^4$$

Si regresamos al espacio $3$-dimensional, el área superficial de un cubo es la derivada del volumen de un cubo si utilizas $\frac{s}{2}$ como base de medida (esto refleja que usamos el radio y no el diámetro para la mayoría de los cálculos de esferas).

La forma habitual de escribirlo es:

$$V=s^3$$

$$\text{SA} = 6s^2$$

En cambio, usa ($\frac{s}{2}$):

$$V = 8(\frac{s}{2})^3$$

$$\text{SA} = 24(\frac{s}{2})^2 $$

Cuando se simplifican, las fórmulas son las mismas, pero en el segundo ejemplo el SA es la derivada del volumen. De manera similar, el perímetro de un cuadrado es la derivada de su área si usas ($\frac{s}{2}$).

No conozco otros sólidos para los que esto sea cierto. (Un icosaedro regular casi funciona, pero esto no es juego de herraduras.)

Answer 3

Una identidad general dice \begin{align} & \Big(\text{Tamaño de la frontera}\Big) \times \Big( \text{Tasa de movimiento de la frontera} \Big) \\[5pt] = {} & \Big( \text{Tasa de cambio del tamaño de la región acotada} \Big) \tag 1 \end{align> (Esta igualdad no tiene un nombre estándar que yo sepa; a veces la he llamado la regla de la frontera.)

Se puede ver de la siguiente manera: $$ \frac{d(\text{Tamaño de la región acotada})}{d(\text{ubicación de la frontera})} = \text{Tamaño de la frontera} $$ En particular $$ \frac{d(\text{Volumen de la esfera})}{d(\text{radio de la esfera})} = \text{Área superficial de la esfera} $$ ¿Podemos ver la superficie de la esfera creciendo debido al movimiento de una frontera, cuando el radio crece? No sé cómo hacer eso, ni cómo encontrar algún tipo de tamaño de tal frontera supuesta, ni qué significaría hablar de la cantidad por la cual cambia la ubicación de tal frontera (y por lo tanto hablar de una tasa de movimiento de la frontera).

Por lo tanto, no veo cómo se puede dar una interpretación geométrica de la segunda derivada. Sin embargo, el hecho de que no sepa cómo hacerlo no significa que no se pueda hacer. Pero sí hace preguntarse por qué estoy escribiendo esta respuesta. Parte de la razón es que sé cómo hacer algo así con un cubo.

Considera el cubo $[0,s]^n$ en el espacio euclidiano $n$-dimensional. A medida que $s$ cambia, hay $n$ fronteras móviles, cada una de las cuales es un cubo de dimensiones $(n-1)$ $$ \underbrace{ \cdots \times [0,s]\times \cdots \times [0,s]} {} \times \{s\} \times {} \underbrace{[0,s]\times \cdots \times [0,s]\times\cdots} {}. $$ El volumen de esta frontera es $s^{n-1}$ y su tasa de movimiento es la tasa de cambio de $s,$ y así, a partir de $(1)$ concluimos que $\dfrac{ds^n}{ds} = ns^{n-1}.$ El factor $n$ delante de $s^{n-1}$ proviene del hecho de que así es como muchas tales fronteras hay.

Entonces, ¿qué pasa con la segunda derivada? Algunos de esos $n$ componentes de toda la frontera interfieren con otros y algunos interfieren con los hiperplanos coordenados $(n-1)$-dimensionales inmóviles. Esas últimas interfaces conforman la "frontera de la frontera". Cada uno de los componentes $(n-1)$-dimensionales de la frontera del cubo completo tiene $n-1$ componentes de su frontera $(n-2)$-dimensional. Por lo tanto, $n(n-1)s^{n-2}$ es el tamaño de la "frontera de la (parte móvil de la) frontera".

¿Cómo se puede aplicar tal idea a la esfera? En este punto no lo sé . . .