Mostrar : si $u = u_t = 0$, entonces $u \equiv 0$ en $\Omega$ para la ecuación de onda amortiguada

Question

Sea $\phi(x)$ una función en $C_{0}^{\infty}(\mathbb R^3)$ y consideremos una ecuación de onda amortiguada: $$u_{tt} -\Delta u +\phi u=0$$

$u(x,0)=f$ y $u_t(x,0)=g$.

Ahora para $(x_0, t_0) \in \mathbb R^3 \times(0, \infty)$ fijo, sea $\Omega = \{(x,t): t \in [0,t_0] ~\text{y}~ |x-x_0|\leq|t-t_0| \}$ el cono de dependencia y definamos $U_{\tau}=\Omega \cap \{t=\tau\}$.

Muestra: si $u=u_t=0$, entonces $u\equiv0$ en $\Omega$. No estoy seguro de cómo usar el cono de dependencia aquí para la ecuación de onda amortiguada.

Answer 1

El método típico de demostración es algo así (lamento no haber terminado el problema aquí, pero quizás alguien pueda),

Considera la energía $$ e(t) = \frac{1}{2}\int_{\Omega(t)} u_t^2 + |\nabla u|^2 \; dx.$$ Dado que tenemos que $e(0) = 0$ por hipótesis, la idea es entonces demostrar que ${\dot e}(t) \leq 0.

Calcula, \begin{align} {\dot e}(t) &= \int_{\Omega(t)} u_tu_{tt} + \nabla u_t \cdot \nabla u \; dx -\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega} u_t^2 + |\nabla u|^2 \; dS \\ &= \int_{\Omega(t)} u_t(u_{tt} - \Delta u)\; dx + \int_{\partial\Omega(t)} u_t\frac{du}{dn} \; dS -\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega} u_t^2 + |\nabla u|^2 \; dS\\ &= \int_{\Omega(t)} -\phi u u_t\; dx \int_{\partial\Omega(t)} u_t\frac{du}{dn} \; dS -\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega} u_t^2 + |\nabla u|^2 \; dS. \end{align} Usando el hecho de que $$ \bigg|\frac{du}{dn} u_t\bigg| \leq \frac{1}{2} u_t^2 + \frac{1}{2} |\nabla u|^2,$$ tenemos que $$\int_{\partial\Omega(t)} u_t\frac{du}{dn} \; dS -\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega} u_t^2 + |\nabla u|^2 \; dS \leq 0$$ De esta manera, \begin{align} {\dot e}(t) &\leq \int_{\Omega(t)} -\phi u u_t\; dx\\ \end{align>

Aquí es donde me atasco ya que $\phi$ puede tomar valores tanto positivos como negativos en $\Omega$ y tampoco se puede decir mucho sobre $u$. Estaba esperando la desigualdad, ${\dot e}(t) \leq e(t)$ para luego tener $e(t) \leq e(0) \implies e(t) = 0.