Diagonalizability a través de formularios

Question

Aburrido en una conferencia, comencé a juguetear con 2-por-2 matrices y observó lo siguiente. Supongamos que queremos diagonalize la matriz $$\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$$ en la mayoría de los ingenuos manera posible. Buscamos una matriz $$\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$$ with $\alpha\delta \beta\gamma \ne 0$ que $$\frac{1}{\alpha\delta - \beta\gamma} \begin{pmatrix} \delta & -\beta \\ -\gamma & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}* & 0 \\ 0 & *\end{pmatrix}.$$ Molienda a través del álgebra, resulta que el fuera de la diagonal son los términos de $Q(\alpha, \gamma)$$-Q(\beta, \delta)$, hasta un escalar múltiples, donde $$Q(x, y) = cx^2 + (a-d)xy - by^2.$$ Así que para encontrar un diagonalizing matriz, buscamos soluciones a $Q(x, y) = 0$. Debido a $Q$ es homogéneo, en realidad estamos buscando soluciones en $\mathbb{P}^1$. La condición de $\alpha\delta - \beta\gamma \ne 0$ es equivalente a $$[\alpha:\gamma] \ne [\beta:\delta].$$ Este punto de vista es totalmente nuevo para mí. Para $n$a$n$ matrices, hay análoga homogénea de las formas procedentes de intentar diagonalize de esta manera?

Answer 1

Si quieres hacer lo mismo para una matriz de $n \times n$ $A$ % que $P=(p_{i,j})$ser una matriz tal que $P^{-1} A P$ es diagonal. Entonces teniendo en cuenta el % de matriz adjunta $\text{adj}(P) = ((-1)^{i+j}P_{j,i})$, uno tiene $i\ne j$, $$\sum_{k,l} (-1)^{i+k} P_{k,i} a_{k,l} p_{l,j} = 0 $P_{i,j}$ Dónde está el %#% menor #% de $(i, j)$. Estas relaciones de $P$ son polinomios homogéneos de grado $n(n-1)$ en el % de coeficientes $n$. No sé dónde quieres ir de aquí.