Que $R$ ser un dominio integral (un anillo comutativo con la unidad sin cero cero divisor); $I$ estar un ideal de $R$, que $I$ es un $R$-módulo. Que $f,g : I \to I$ ser cualquier homomorphisms de dos $R$-módulo. ¿Entonces es verdad que el $f \circ g = g\circ f $? No tengo ni idea donde empezar; y no hay intuición en cuanto a la validez de la declaración. Por favor ayuda. Gracias de antemano
Respuesta
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Lema: en el contexto anterior, $fg(y)=gf(y)$ todos los $y\in I^2$.
Prueba: Vamos A $i,j\in I$. A continuación,$(fg-gf)(ij)=fg(ij)-gf(ij)=f(g(i)j)-g(if(j))=f(j)g(i)-f(j)g(i)=0$. Ya que este tiene para todos los $i,j$, tiene para todos los elementos de a $I^2$.
Observe que el anterior se cumple para cualquier anillo conmutativo $R$.
Prueba de su problema:
Supongamos $(fg-gf)(x)=z\neq 0$ algunos $x\in I$. A continuación, $(fg-gf)(x^2)=(fg-gf)(x)x=zx\neq 0$ también. Pero por el lema sabemos que esto no puede ser el caso ya que las $x^2\in I^2$.
Ahora recuerdo que la versión de esta pregunta he resuelto hace mucho tiempo:
La proposición: Vamos a $I$ a ser un ideal de un anillo conmutativo $R$ tal que $I$ contiene un elemento regular $r$ (es decir, $r$ no es un divisor de cero.) A continuación, $End(I_R)$ es conmutativa.
La prueba es el mismo, excepto que al llegar a "Supongamos $(fg-gf)(x)=z\neq 0$ algunos $x\in I$", toma el especial elemento regular $r\in I$ y dice que "$(fg-gf)(xr)=(fg-gf)(x)r=zr\neq 0$, una contradicción."
