Me temo que no hay elección canónica.
Deje $F$ el conjunto de $C^1$-las funciones lisas $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ para que el seminorm
$$\|f\|_F = \sup_{x\in\mathbb{R}} |x^2f'(x)|$$
es finito. A continuación, $E = \{f\in F:\|f\|=0\}$ es unidimensional, el espacio de la constante de funciones.
Sin embargo, diferentes opciones de complementos de $E$ rendimiento no equivalentes de las normas sobre el $F$. Por ejemplo, podríamos tomar a $H=\{f\in F: f(1)=0 \}$, lo que en la norma
$$\|f\|_1 = \|F\|_F + |f(1)|$$
O tome $H=\{f\in F: f(-1)=0 \}$, lo que en la norma
$$\|f\|_{2} = \|F\|_F + |f(-1)|$$
Estos dos no son comparables, y no generan la misma topología en $F$. De hecho, la secuencia de funciones
$$
f_n(x) = \begin{cases} 0,\quad &x\le 0, \\ n^2x^2,\quad &0\le x\le 1/n \\
2-n^2(x-2/n)^2,\quad & 1/n \le x \le 2/n \\ 2 \quad & x\ge 2/n
\end{casos}
$$
converge a $0$ en la segunda norma, pero no la primera. Para comprobar esto, observe que
$$
f_n'(x) = \begin{cases} 0,\quad &x\le 0, \\ 2n^2x,\quad &0\le x\le 1/n \\
-2n^2(x-2/n),\quad & 1/n \le x \le 2/n \\ 0 \quad & x\ge 2/n
\end{casos}
$$
por lo tanto $\|f_n\|_F\to 0$. Desde $f_n(-1)=0$, obtenemos $\|f_n\|_2 \to 0$. Pero $f_n(1) = 2$ grandes $n$, lo $\|f_n\|_1\to 2$.
El problema subyacente es que para formar una norma (o localmente convexo topología) esencialmente uno de los necesidades de algunos de los funcionales lineales que no son constantes en $E$, es decir, no continua con respecto a $F$-seminorm. Y no es canónica de la elección de la discontinuo lineal funcionales en una normativa espacio... como Tolstoy escribió, cada discontinuo lineal funcional es discontinua en su propia manera.
