¿Universal primer countability en ZF?

Question

Es fácil de llegar con ejemplos de espacios que son de modo demostrable en ZFC no contables: por ejemplo, el fin de la topología en $\omega_1+1$, o el cocountable la topología en cualquier multitud innumerable. Sin embargo, estas pruebas tienden a basarse en los principios de la forma "todos los 'pequeños' de la unión de "pequeños", es "pequeño"," y estos pueden fallar bastante mal sin elección.

Por el contrario, en el otro extremo de las cosas, si ampliamos ZF por un fuerte anti-principio de elección, a menudo podemos seguramente no sea el primero contable de los espacios. Por ejemplo, el cofinite la topología en un conjunto amorfo $A$ es no-contables.

Por qué? Pick $a\in A$, y considerar la posibilidad de una secuencia $(U_i)_{i\in\mathbb{N}}$ de los barrios de $a$. La unión de los complementarios de la $U_i$s no debe ser finito en el orden de la secuencia a ser testigo de primera countability. Deje $V_i$ ser el conjunto de puntos "lanzado por primera vez" en la etapa de $i$: $V_i$ es el conjunto de $y$ tal que $y\not\in U_i$ pero $y\in \bigcup_{j<i} U_j$. Infinitamente muchas de las $V_i$s debe ser no vacío; WLOG supongamos que cada una de las $V_i$ es no vacío. Pero, a continuación, $\bigcup_{i\in\mathbb{N}}V_{2i}$ $\bigcup_{i\in\mathbb{N}}V_{2i+1}$ son dos distintos infinitos subconjuntos de a $A$.

Así que mi pregunta es si podemos encontrar no-contables espacios en ZF solo. Enunciado de la mayoría simple, esto es:

¿ZF demostrar que no son de primera contables espacios?

También podemos hacer una pregunta que podría ser un poco más satisfactoria:

Existe una formula $\varphi$ que ZF se demuestra que define a un no-contables topológica del espacio?

Sospecho que la respuesta incluso a la primera pregunta es "no", y que esta es testigo de algo así como Gitik modelo de estado, pero no estoy seguro.

Answer 1

Deje $X=\mathbb{N}\times\mathbb{N}\cup\{\infty\}$, topologized de tal manera que un conjunto no vacío es abrir el fib contiene $\infty$ y contiene cofinitely muchos puntos de $\{n\}\times\mathbb{N}$ por cada $n\in\mathbb{N}$. A continuación, $X$ es no-contables en $\infty$. En efecto, supongamos $(U_n)$ es una base local en $\infty$. Para cada una de las $n$, vamos a $j_n$ ser el menos $j$ tal que $(n,j)\in U_n$ (desde $U_n$ es no vacío y abierto, debe contener $(n,j)$ para todos, pero un número finito de $j$). Ahora vamos a $$U=\{\infty\}\cup\{(n,j)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}:j>j_n\}.$$ Then $U$ is an open neighborhood of $\infty$. However, $U$ does not contain any $U_n$, since for each $n$, $(n,j_n)\en U_n$ but $(n,j_n)\no\en U$.

Esto no es sólo una forma patológica ejemplo--ejemplos similares llegado de forma muy natural cuando pegamento juntos infinitamente muchos espacios en un punto, por ejemplo, cuando se considera no-localmente finito CW complejos en topología algebraica. Como un ejemplo concreto, una cuña suma de countably infinitamente muchas copias de $[0,1]$ puede ser demostrado (en ZF) a no ser de primera contables en el punto de base esencialmente el mismo argumento.

Answer 2

Topologize $\mathbb N$ para que un subconjunto $U$ $\mathbb N$ es abierto si $1\notin U$ o bien $\sum\{\frac1n:n\in\mathbb N\setminus U\}\lt\infty.$
Dicen que no hay ninguna base contable para los barrios de $1.$

$U_1,U_2,U_3,\dots$ Es una secuencia infinita de conjuntos abiertos que contienen $1.$ para cada índice $i,$ $U_i$ es un infinito set, podemos definir $n_i$ como el elemento menos de $U_i$ que supera el $2^i.$ luego, desde $\sum_{i=1}^\infty\frac1{n_i}\lt\sum_{i=1}^\infty2^{-i}\lt\infty,$ el conjunto $U=\mathbb N\setminus\{n_1,n_2,n_3,\dots\}$ un conjunto abierto que contiene $1;$ y cada $i$ $U_i\not\subseteq U$ desde $n_i\in U_i\setminus U.$