Considerar el semiplano $H^2 = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ y>0\}$, y supongo que los modelos (con un poco de fantasía, y ser altamente no-riguroso tan lejos como la cosa real va) el metro de la Tierra, de tal manera que cada capa de suelo $y=\textrm{k}$ se compone de material más duro cuanto más uno se acerca a la final de la capa de $y=0$. De esta manera, el hundimos más difícil sería que ellos se muevan, y por lo tanto sería más costoso para perforar el suelo.
Supongo que tal situación podría ser modelado (de una medida) a través de la conocida representación del plano hiperbólico $(H^2,g_{H^2})$, donde $$ g_{H^2}(x,y) = \begin{bmatrix}1/y^2 &0\\0 &1/y^2\end{bmatrix} $$ no representa la métrica que induce a la longitud adecuada (para los que usamos el estándar métrica euclidiana), sino más bien un "costo de longitud", de manera que geodesics son el costo-minimización de las rutas. De esta manera, si se desea mover de un punto hacia otro, podían elegir entre una corta, pero más caro ruta (la línea, que sería el estándar geodésica del avión) y una más, pero "más barato" ruta de acceso (geodesics del plano hiperbólico).
En primer lugar, estoy interesado en saber si los razonamientos como el de arriba se han utilizado para describir (incluso con un alto grado de aproximación), algunos reales de la situación o fenómeno.
Si ellos han sido, me puedes dar una referencia?
En segundo lugar, mi ejemplo se basa en gran medida en el hecho de que uno tiene esta idea de la dificultad de movimiento (que podría ser así la facilidad de movimiento, si uno tiene un diferente métrica), que de alguna manera se asemeja a algún tipo de fricción.
Hay al menos un campo de vectores (tal vez un campo de fuerza dependiente de la velocidad), que describe esto? Algo así como una fricción, lo que hace más grande cuanto más uno se acerca a la parte inferior?
Y viceversa, teniendo en cuenta algunas "fricción", se puede encontrar siempre una geometría que los modelos de la situación?
Si no hay ningún campo de vectores, lo que está ahí, que puede ser útil para describir lo que sucede?
Pensé que, dado que la de Levi-Civita conexiones de $(H^2,g_{\mathbb{R}^2})$ y $(H^2,g_{H^2})$ ($\nabla^{\mathbb{R}^2}$ y $\nabla^{H^2}$) y un camino de $c(t)$$H^2$, lo que he llamado "fricción" podría ser $$\tilde{\nabla}_{c'(t)}c'(t) := 2\nabla^{\mathbb{R}^2}_{c'(t)}c'(t) - \nabla^{H^2}_{c'(t)}c'(t),$$ y $\tilde{\nabla}$ es una torsión de conexión. Sin embargo, todavía tengo que encontrar las propiedades de la conexión y de la forma en que se relaciona con la situación original. Yo creo (conjetura) que, si se puede encontrar una métrica que $\tilde{\nabla}$ es su Levi-Civita de conexión, entonces el geodesics serían los caminos a lo largo de la cual no es la mejor "negociación" entre la duración y el costo.
