18 votos

Pregunta de número primo de Olimpiada de matemática

Si $p$, $q$ y $r$ son números primos tales que su producto es $19$ veces su suma, $p^2$ + $q^2$ + $r^2$.

Me encontré con esta pregunta en un concurso de la Olimpiada de matemáticas y no tenía idea de cómo hacerlo. ¿Puede alguien ayudarme?

44voto

Ivan Loh Puntos 14524

Uno de los primos debe ser $19$, tan WLOG $r=19$. Entonces $(p-1)(q-1)=20$. No hay demasiadas maneras de decírnoslo $20$...

5voto

Philip Gray Puntos 21

Ampliación de Ivan Loh la respuesta:

Si $p$, $q$ y $r$ son números primos tales que su producto es $19$ veces su suma, encontrar $p^2$ + $q^2$ + $r^2$.

Esta expresión puede ser escrita como: $pqr=19(p+q+r)$

Como p, q, r son números primos, su producto va a tener p, q y r como primer divisores. Por lo tanto, uno de ellos debe ser de 19. Decir $r=19$. Entonces, tenemos:

$pq19 = 19(p+q+19)$

$pq = p+q+19$

$pq-p-q = 19$ (*)

Por otro lado, siempre tenemos la expresión: $(p-1)(q-1) = pq-p-q+1$

que es equivalente a:

$(p-1)(q-1)-1 = pq-p-q$

Unirse con (*)

$(p-1)(q-1)-1 = 19$

$(p-1)(q-1) = 20$

20 puede ser factorised en: $20=2*2*5$

en bloques de dos:

$20=4 * 5$

o

$20=2 * 10$

o

$20=1 * 20$

así tenemos que las opciones de:

Primero

$p-1=4 -> p=5$

$q-1=5 -> q=6$

Esto no puede suceder, porque $p$, $q$, $r$ tiene que ser el primer y $p=6$ no lo es.

Segundo

$p-1=1 -> p=2$

$q-1=20 -> q=21$

Esto no puede suceder, porque $p$, $q$, $r$ tiene que ser el primer y $q=21$ no lo es.

Tercera

$p-1=2 -> p=3$

$q-1=10 -> q=11$

Tanto en $p=3$ $q=11$ son números primos, por lo que podemos seguir adelante. En tal caso,

$p^2 + q^2 + r^2 = 3^2 + 11^2 + 19^2 = 9 + 121 + 361 = 491$

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X