Si $p$, $q$ y $r$ son números primos tales que su producto es $19$ veces su suma, $p^2$ + $q^2$ + $r^2$.
Me encontré con esta pregunta en un concurso de la Olimpiada de matemáticas y no tenía idea de cómo hacerlo. ¿Puede alguien ayudarme?
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Philip Gray
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Ampliación de Ivan Loh la respuesta:
Si $p$, $q$ y $r$ son números primos tales que su producto es $19$ veces su suma, encontrar $p^2$ + $q^2$ + $r^2$.
Esta expresión puede ser escrita como: $pqr=19(p+q+r)$
Como p, q, r son números primos, su producto va a tener p, q y r como primer divisores. Por lo tanto, uno de ellos debe ser de 19. Decir $r=19$. Entonces, tenemos:
$pq19 = 19(p+q+19)$
$pq = p+q+19$
$pq-p-q = 19$ (*)
Por otro lado, siempre tenemos la expresión: $(p-1)(q-1) = pq-p-q+1$
que es equivalente a:
$(p-1)(q-1)-1 = pq-p-q$
Unirse con (*)
$(p-1)(q-1)-1 = 19$
$(p-1)(q-1) = 20$
20 puede ser factorised en: $20=2*2*5$
en bloques de dos:
$20=4 * 5$
o
$20=2 * 10$
o
$20=1 * 20$
así tenemos que las opciones de:
Primero
$p-1=4 -> p=5$
$q-1=5 -> q=6$
Esto no puede suceder, porque $p$, $q$, $r$ tiene que ser el primer y $p=6$ no lo es.
Segundo
$p-1=1 -> p=2$
$q-1=20 -> q=21$
Esto no puede suceder, porque $p$, $q$, $r$ tiene que ser el primer y $q=21$ no lo es.
Tercera
$p-1=2 -> p=3$
$q-1=10 -> q=11$
Tanto en $p=3$ $q=11$ son números primos, por lo que podemos seguir adelante. En tal caso,
$p^2 + q^2 + r^2 = 3^2 + 11^2 + 19^2 = 9 + 121 + 361 = 491$
