El único numérico tensores que son invariantes bajo ciertas relevante grupo de simetría (la distancia Euclídea grupo en la mecánica Newtoniana, el grupo de Poincaré en especial de la relatividad, y la diffeomorphism grupo en la relatividad general) son la métrica $g_{\mu \nu}$, la inversa de la métrica $g^{\mu \nu}$, la delta de Kronecker $\delta^\mu_\nu$, y la de Levi-Civita tensor $\sqrt{|\det g_{\mu \nu}|} \epsilon_{\mu \nu \dots}$. (Tenga en cuenta que $\delta^\mu_\nu = g^{\mu \rho} g_{\rho \nu}$, por lo que sólo dos de los tres primeros invariantes tensores son independientes). Este resultado es muy útil para la construcción de todas las posibles escalar invariantes de un determinado conjunto de tensor de campos, pero en realidad nunca he visto probada. ¿Cómo hace uno para demostrar que no hay ningún otro invariante tensores?
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Para una prueba de que el único tensores invariantes de ${\rm SO}(N)$ son productos de %#% de #% y símbolos de Levi-Civita ver M. Spivak, Una completa introducción a la geometría diferencial (segunda edición) Vol. V, pp. 466-481. El número de páginas necesario para el argumento demuestra que no es trivial.
El grupo de rotación ($O(3)$ de espacio euclidiano, $O(1,3)$ a la firma de Minkowski) es definido como el conjunto de todas las transformaciones lineales que conservan el tensor métrico. Si hubiera otros tensores independientes, tendrían restricciones adicionales, por lo que necesariamente podría definir un subgrupo del grupo de rotación.
Exigir que la forma del volumen (~ Levi-Civita) también se conserva hecho restringe al grupo de rotación especial.
Primero de todo, Kronecker $\delta$ $\textit{Diff}$- invariante, ya que se define como el doble de emparejamiento $<.,.>:V^*\otimes V\to k.$ de Sus componentes son ${\delta^\mu}_\nu=\delta(\mathrm d x^\mu,\partial_\nu)=<\mathrm d x^\mu,\partial_\nu>=\delta^\mu_\nu$, donde el último "$\delta^\mu_\nu$" es simplemente el símbolo de Kronecker, igual a 1 o a 0 de la forma habitual. Es la misma en cualquier sistema de coordenadas. Siéntase libre de carne fuera de los detalles por sí mismo.
Ahora, siento la necesidad de aclarar algo con respecto a la covarianza, la invariancia y la diffeomorphism grupo. Lista la de Galileo y de Poincaré grupos junto con diffeomorphisms. Esto está mal, y muchos libros de texto en GR brillante está en una prisa para introducir las ecuaciones de Einstein y discutir las soluciones. Genial, pero me dio muchos dolores de cabeza innecesarios, y esos son sin duda los peores tipos de dolores de cabeza.
Consideremos $(\mathcal M,g,\nabla)$ donde $\nabla$ de Levi-Civita (es decir métrica compatible) conexión (significado $\nabla g =0$). Tomamos nota también de que cualquier campo vectorial $\xi$ genera un parámetro 1-diffeomorphsim a través de la retirada por su flujo de ${\phi_t}:\mathbb R\times \mathcal M\to\mathcal M$, que satisifes $\phi_{t+s}=\phi_t\circ \phi_s$$\phi_0=1$. Localmente, $\phi_t = \exp{t\xi}$. Perdonar mi glosa sobre los detalles. Simplemente significa que, si las cosas son de la misma en la dirección de un vector de puntos, que seguirá siendo el mismo si usted sigue el vector a lo largo de toda la ruta, usándola como una brújula.
Ahora, se puede demostrar que diffeomorphism invariancia ${\phi_t}^*g =g$ implica $\mathcal L_\xi g =0.$ sin Embargo, $$\mathcal L_\xi g_{ab} = 2 \nabla_{(a}\xi_{b)}\neq 0$$ en general, excepto para los campos de muerte. La métrica es siempre covariante, pero no en general invariante bajo diffeomorphisms. Espacio de Minkowski se tiene el máximo número posible de Matar a los vectores: tiene 10 vectores que corresponden a las 10 generadores del grupo de Poincaré. Además del espacio de Minkowski, sólo deSitter y AntideSitter espacios tienen esta propiedad. Esto no es algo que podemos esperar de la GR. La métrica de Kerr que describe una rotación del agujero negro sólo tiene un 2 dimensiones de los subgrupos del grupo de Poincaré: tiempo traslaciones y rotaciones alrededor de un solo eje.
El pleno diffeomorphism grupo no es una simetría pero un medidor de simetría. Representa nuestra libertad para describir la naturaleza en un sistema de coordenadas diferente, pero no es una simetría de un sistema físico en sí. Para ello, necesitamos la Matanza de los campos que generan lo que se suele decir un "simetría". Para ilustrar mi afirmación acerca de ser un indicador de la simetría, en linealizado de la gravedad tenemos el medidor de transformación de $$\gamma_{ab}\to\gamma_{ab}'=\gamma_{ab}-\nabla_a\xi_b-\nabla_b\xi_a$$ que corresponde a $(\mathcal M,g)$ $(\mathcal M,{\phi_t}^*g)$ representando el mismo espacio-tiempo. Vemos que $\gamma_{ab}'=\gamma_{ab}$ fib esta es una "simetría". Por otra parte, podemos definir conservado sólo cobra el uso de la Matanza de simetrías. En el agujero negro de Kerr caso, estos corresponden a la masa y el momento angular total.
Más claro? Para recapitular: cualquier cosa que escribir como $T_{a_1a_2,...}^{b_1 b_2,...}$ es covariante. Esto solo significa que obtiene todos los derivada parcial de los factores bajo un cambio de coordenadas (es decir, diffeomorphism). Tomemos como ejemplo la métrica de Minkowski $$\eta=-\mathrm dt^2 + \mathrm d x^2+ \mathrm d y^2+ \mathrm d z^2$$ Si pasamos a coordenadas esféricas, obtenemos $$\eta=-\mathrm dt^2 + \mathrm d r^2+ r^2\mathrm d \theta^2 + r^2sin^2\theta\mathrm d\phi^2$$ Claramente no es el mismo, pero es covariante. Una verdadera simetría transformación sería utilizar el grupo de Poincaré, y, a continuación, la métrica sería exactamente el mismo, por lo que sería invariante.
Hay muchos invariante tensores, si tenemos un campo de muerte. Dado un campo de muerte $\xi_a$, podemos construir un nuevo invariante del tensor, $\xi_a\xi_b$. Por ejemplo, $$h_{ab}\equiv g_{ab} - (\xi^a\xi_a)^{-1}\xi_a\xi_b$$ is the metric of a spacelike or timelike hyperplane orthogonal to the orbit of $\xi_a$, y es invariante. Estos no pueden ser invariantes bajo la acción de otro campo de muerte, sin embargo. Sólo en circunstancias especiales. El uso de tensores hecha a partir de la métrica es una apuesta segura, ya que simetrías son explícitamente dada por la invariancia de la métrica.
