¿Cómo patológica puede ser una función convexa?

Question

Que $f : \mathbb R \to \mathbb R$ ser convexa. ¿Cómo extraño puede ser $f$? Sé que fácilmente se pueden no-diferenciable en finito muchos puntos, por ejemplo $f$ $f(x) = \sum_{i=1}^n | x - c_i|$. ¿Puede ser no diferenciable en infinitamente muchos puntos? ¿O en un conjunto de medida positiva?

Mi motivación para esto es que cuando me imagino a una arbitraria función convexa, tiendo a pensar que muy regular como $f(x) = x^2$ pero quiere asegurarse de que estoy no construyendo mi intuición en ejemplos no son lo suficientemente ricos.

Answer 1

Usted puede conseguir no differentiability en un infinito contable por considerar $$\sum_{n=1}^\infty a_n|x-c_n|$ $ donde $a_n>0$ y $(a_n)$ va a cero rápidamente.

Answer 2

Otros ejemplos en los que las funciones contables de los conjuntos de puntos en el que $f$ es nondifferentiable. Sin embargo, la respuesta a la pregunta sobre si este conjunto de nondifferentiable puntos tiene medida cero es afirmativa. Esto es cierto incluso para funciones convexas $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, y es tan solo una consecuencia de Rademacher del teorema además, el hecho de que el continuo de las funciones convexas en la normativa de espacios localmente Lipschitz continua.

Aquí están los detalles:

Deje $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ ser convexa y deje $\{x_n\}$ ser una enumeración de los elementos de $\mathbb{R}^n$ con rational coordenadas. Es fácil ver que este conjunto es denso en $\mathbb{R}^n.$ Por cada $x \in \mathbb{R}^n,$ definir

$$\epsilon(x)= \sup\{\epsilon>0: f \textrm{ is locally Lipschitz on the ball }B(x,\epsilon) \}.$$ Since convex functions are locally Lipschitz continuous, we have that $\epsilon(x)$ is well defined and positive. Now it is easy to prove that $$\mathbb{R}^n= \bigcup_{n\in \mathbb{N}} B(x_n, \epsilon(x_n)).$$ Let $ND$ be the set of points at which $f$ is nondifferentiable. Applying Rademacher's theorem on each $B(x_n, \epsilon(x_n))$ we find that the set $ND\cap B(x_n, \epsilon(x_n))$ tiene medida cero. Por lo tanto

$$\mu(ND)\leq \sum_{n=1}^\infty \mu(ND\cap B(x_n, \epsilon(x_n)))=0,$$ como se desee.

Espero que esto ayude

Answer 3

El conjunto de puntos con differentiability no puede ser denso en el soporte por ejemplo para la toma de $x\in[-1,1]$

$$x\mapsto\sum_{i=0}^\infty\sum_{j=0}^{2^i-1}4^{-i}|2^{1-i}j+2^{-i}-1-x|$$

Answer 4

Según Wikipedia (punto 2.), en la mayoría puede ser no diferenciable en un número contable de puntos.

Answer 5

Casos patológicos no están restringidos a no differentiability. En realidad, una función convexa no incluso necesita ser continuo. Una función convexa en un dominio cerrado puede ser discontinua en la frontera. Por ejemplo $f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$: $$f (x) =\begin{cases} x^2 & \text{if %#%#%}\\ 5 & \text{otherwise} \end{casos} $ es convexo en su dominio.