Supongo que usted tiene conocimientos elementales de álgebra conmutativa;
integral de la dependencia, la mentira-más de teorema, localizaciones de los anillos por multiplicativo subconjuntos, etc.(ver, por ejemplo, de Atiyah-MacDonald).
Voy a probar un poco más general del teorema de que la suya.
Desde una unidad flash usb es integralmente cerrado, su teorema se sigue de inmediato.
Teorema de
Deje $A$ ser un integralmente dominio cerrado y deje $P$ ser un primer ideal de $A$.
Deje $K$ a ser el campo de fracciones de A.
Deje $\tilde{K}$ a ser el campo de fracciones de $A/P$.
Deje $f(X) \in A[X]$ ser un monic polinomio sin múltiples raíces.
Deje $\tilde{f}(X) \in (A/P)[X]$ ser la reducción de la $f(X)$ mod $P$.
Supongamos $\tilde{f}(X)$ es también wihout de múltiples raíces.
Deje $L$ ser la división de campo de la $f(X)$$K$.
Deje $G$ ser el grupo de Galois de $L/K$.
Deje $\tilde{L}$ ser la división de campo de la $\tilde{f}(X)$$\tilde{K}$.
Deje $\tilde{G}$ ser el grupo de Galois de $\tilde{L}/\tilde{K}$.
A continuación, $\tilde{G}$ es isomorfo a un subgrupo de $G$.
Para demostrar este teorema, necesitamos algunas notaciones.
Definición
Deje $A$ ser un anillo.
Deje $G$ ser un grupo.
Deje $Aut(A)$ ser el automorphism grupo de $A$.
Supppose existe un homomorphism $\psi：G \rightarrow Aut(A)$.
Podemos decir $G$ actúa en $A$.
Para$\sigma \in G$$x \in A$, denotamos $\psi(\sigma)(x)$$\sigma.x$.
Denotamos el conjunto de $\{x \in A；\sigma.x = x$ todos los $\sigma \in G\}$$A^G$.
A continuación, $A^G$ es un sub-anillo de $A$.
La prueba del teorema:
Deje $\alpha_1, ..., \alpha_n$ ser las raíces de $f(X)$$L$.
Deje $B = A[\alpha_1, ..., \alpha_n]$.
Desde $f(X)$ es monic, $B$ es integral sobre A.
Deje $S = A - P$.
Deje $A_S$ $B_S$ ser localizaions de $A$ $B$ respectivamente.
A continuación,$B_S = A_S[\alpha_1, ..., \alpha_n]$.
Puesto que a es integralmente cerrado, $A_S$ también es integralmente cerrado.
Mediante la sustitución de $A$ $P$ $A_S$ $PA_S$ respectivamente, podemos suponer $P$ es un ideal maximal de a $A$.
Por la mentira-más de teorema, no sale de un alojamiento ideal $M$ $B$ tal que $P = A \cap M$.
Desde $B$ integral $A$ $P$ es un ideal maximal de $A$, $M$ es un ideal maximal de a $B$.
Obviamente $G$ actúa en $B$.
$A \subset B^G \subset K$ $B^G$ integral $A$.
Desde $A$ es integralmente cerrado, $B^G = A$.
Deje $\pi:B → B/M$ ser la canónica mapa.
A continuación,$B/M = (A/P)[\pi(\alpha_1), ..., \pi(\alpha_n)] = \tilde{K}(\pi(\alpha_1), ..., \pi(\alpha_n))$.
Desde $\pi(\alpha_1), ..., \pi(\alpha_n)$ son todas las raíces de $\tilde{f}(X)$,
$B/M$ puede ser identificado con $\tilde{L}$.
Desde $\tilde{f}(X)$ es wihout de múltiples raíces, $B/M$ es separable sobre $A/P$.
Por lo tanto $B/M$ tiene un elemento primitivo $\theta$$A/P$.
Sea y un elemento de B tal que $\pi(y) = \theta$.
Deje $H = \{\sigma \in G; \sigma(M) = M\}$.
Cada una de las $\sigma \in H$ induce $\tilde{\sigma} \in \tilde{G}$.
Por lo tanto tenemos un homomorphism $\psi: H \rightarrow \tilde{G}$.
Basta probar que $\psi$ es un isomorfismo.
Para cada una de las $\sigma \in G - H, \sigma(M) \neq M$.
Por lo tanto, por el teorema del resto Chino, no existe $x \in B$ tal que
$x \equiv y$ $(mod M)$,
$x \equiv 0$ $(mod$ $\sigma(M))$ para cada una de las $\sigma \in G - H$
Deje $F(X) = \prod_{\sigma \in G}(X - \sigma(x)) \in B[X]$.
Ya que cada coeficiente de $F(X)$ es invariante por $G, F(X) \in (B^G)[X] = A[X]$.
Deje $\tilde{F}(X) = \prod_{\sigma \in G}(X - \pi(\sigma(x))$.
A continuación,$\tilde{F}(X) \in (A/P)[X]$.
Deje $\lambda$ cualquier elemento de $\tilde{G}$.
Desde $\pi(x)$ es una raíz de $\tilde{F}(X)$, $\lambda(\pi(x))$ también es una raíz de $\tilde{F}(X)$.
Por lo tanto, no existe $\tau \in G$ tal que $\lambda(\pi(x)) = \pi(\tau(x))$.
Para cada $\sigma \in G - H$, $\sigma(x) \in M$.
Por lo tanto $\pi(\sigma(x)) = 0$.
Por otro lado, $\pi(\tau(x)) = \tilde{\tau}(\pi(x)) = \tilde{\tau}(\theta) \neq 0$
Por lo tanto $\tau \in H$.
Desde $\lambda(\theta) = \pi(\tau(x)) = \tilde{\tau}(\pi(x)) = \tilde{\tau}(\theta)$,
$\lambda = \tilde{\tau}$.
Por lo tanto, $\psi: H \rightarrow \tilde{G}$ es surjective.
Queda por demostrar que $\psi$ es inyectiva.
Supongamos $\psi$ no es inyectiva.
Entonces existe $\sigma \in H$ tal que $\sigma \neq 1$$\psi(σ) = 1$.
Por lo tanto, no existe una raíz de $\alpha$ $f(X)$ tal que $\sigma(\alpha) \neq \alpha$.
Desde $\sigma(\alpha)$ $\equiv$ $\alpha$ $(mod M)$, $\tilde{f}(X)$ tiene raíces múltiples $\pi(\alpha)$. Esta es una contradicción.
QED
