Integral de monomio y logaritmo: ¿es esto cierto? $\lim_{k\to -1}\frac{x^{k+1}}{k+1} = \log|x|$

Question

Es bien sabido que:

$$\int x^k \text{d}x = \begin{cases} \displaystyle\frac{x^{k+1}}{k+1} + c & k \neq -1\\ \\ \log|x| + c & k = -1\end{cases}$$

Mi suposición es:

$$\lim_{k\to -1}\frac{x^{k+1}}{k+1} = \log|x| ???$$

Aparentemente, este límite llega al infinito cuando $x>0$ .

Dicho esto, ¿hay algo que "una" el monomio al logaritmo? Es decir, por qué la integral de un monomio es un monomio excepto en el caso $k=-1$ ?

Adición

Sé muy bien que esto se debe a que $$\frac{\text{d}}{\text{d}x} \log(x) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\log(x+h)-\log(x)}{h} = \frac{1}{x}.$$

De todos modos, el esquema "la integral del monomio es un monomio" se rompe de algún modo. ¿Cuál es la razón "profunda" de esta situación?

Answer 1

su respuesta a la pregunta es básicamente correcta, por lo que no hay convergencia a $\log |x|$ .

estrictamente hablando este límite no llega al infinito, porque los límites de un lado son $+\infty$ y $-\infty$ .

Para derivar una convergencia de funciones que son integraciones de otras funciones $f_n$ se necesita una convergencia uniforme, no una convergencia puntual.

Edición: sólo una idea para tu pregunta adicional: un monomio es cero en cualquiera de los dos $0$ o $\infty$ y a=-1 es el único valor en el que ambos $\int_1^\infty x^a$ y $\int_0^1 x^a$ son infinitas, por lo que es imposible que la integral de $x^{-1}$ es otro monomio.

Answer 2

Tengo que decir que es una pregunta muy original y que el OP se merece el mérito de pensar de esta manera. +1 por mi parte. Tienes razón, pero necesitas expresar tus ideas de manera concreta. Sabes que las integrales indefinidas son bien "indefinidas" y por lo tanto no son únicas. Así que la antiderivada de una función se expresa siempre con un $+C$ (la constante de integración).

Para precisar su razonamiento es mejor bajar a integrales definidas. Entonces tenemos $$\int_{1}^{x}t^{k}\,dt = \frac{x^{k + 1} - 1}{k + 1},k \neq -1,\,\int_{1}^{x} t^{-1}\,dt = \log x$$ Por lo tanto, es razonable esperar que $$\lim_{k \to -1}\frac{x^{k + 1} - 1}{k + 1} = \log x$$ y sí esto es cierto cuando $x > 0$ . Así, podemos escribir $$\lim_{k \to -1}\int_{1}^{x}t^{k}\,dt = \int_{1}^{x}\left(\lim_{k \to -1}t^{k}\right)\,dt$$

Sin utilizar el lenguaje de las integrales definidas se puede argumentar de la siguiente manera. Como $k$ varía la función $x^{k}$ también varía (lo que significa que $x^{2}$ es una función diferente de $x^{3}$ ). Por lo tanto, para nuestra comodidad, podemos elegir que la constante de integración implicada sea diferente para cada $k$ . Por lo tanto, elegimos $$\int x^{k}\,dx = \frac{x^{k + 1} - 1}{k + 1}$$ y luego cuando $k \to -1$ obtenemos $$\int \frac{dx}{x} = \log x$$ y el límite de $(x^{k + 1} - 1)/(k + 1)$ es $\log x$ cuando $k \to -1$ .