¿Probabilidad binomial o uniforme?

Question

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos seises en $7$ ¿lanzamiento de un dado?

Sé que es una probabilidad binomial.

$P(X=2)=\binom{7}{2}(1/6)^2(5/6)^5$ .

Por la definición de la fórmula de la probabilidad "La fórmula de la probabilidad es la relación entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles". Entonces, ¿por qué la probabilidad de sacar exactamente dos seises en $7$ tiradas de un dado no es $=2/42$ ? El denominador es $42$ porque en un dado hay $6$ caras, y en $7$ tiradas de un dado, hay $7\times 6=42$ caras.

Answer 1

El número total de resultados posibles es $6^7$ . En cada intento tenemos $6$ posibilidades, y lo repetimos para $7$ tiempos. Así que $6^7$ en el denomerador.

El número de resultados favorables es $\binom{7}{2}5^5$ . Para ver por qué, considere uno de los casos como 66????? donde cada ? puede tener $5$ posibilidades. Así que para esta selección específica del orden de los dos seis, tenemos $5^5$ posibilidades. Hay $\binom{7}{2}$ posibilidades de seleccionar las posiciones de los dos $6$ .

Por lo tanto, la probabilidad es $$\frac{\binom{7}{2}5^5}{6^7}$$

Answer 2

Definir $X_{1},X_{2},\ldots,X_{7}$ como variables aleatorias de Bernoulli, tales que $X_{i}=1$ cuando el $i$ las tierras de los dados $6$ y $X_{i}=0$ de lo contrario. Sea $X=\sum_{i=1}^{6}{X_{i}}$ sea el número de seises en $7$ tiradas de dados.

Probabilidad de $X$ seis en $7$ tiradas de un dado .

El número de seises $X$ sigue una distribución binomial. $X\sim{Binomial(7,1/6)}$ .

$\displaystyle{P(X=2)={{7}\choose{2}}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^5}$

Probabilidad de un determinado resultado, dado que se aterriza $2$ seis en $7$ tiradas de un dado .

La definición ingenua de probabilidad que establece que,

$$P(A)=\frac{\text{number of sample points in }A}{\text{total number of points in sample space }S}$$

es aplicable, cuando el espacio muestral $S$ es finito y los puntos de la muestra son igualmente probables.

Dado que aterrizamos $2$ seis en $7$ tiradas de dados, es decir, el evento $\{X=2\}$ ¿Cuál es la probabilidad de un resultado concreto, por ejemplo?

$\{X_{1}=0,X_{2}=1,X_{3}=0,X_{4}=1,X_{5}=0,X_{6}=0,X_{7}=0\}$

Cada uno de estos resultados ocurre con igual probabilidad. El espacio muestral $S$ consiste en ${{7}\choose{2}}=21$ tales secuencias. Por lo tanto,

$\displaystyle{P(X_{1}=0,X_{2}=1,X_{3}=0,X_{4}=1,X_{5}=0,X_{6}=0,X_{7}=0|X=2)=\frac{1}{21}}$

Dado $X=2$ , estos se distribuyen uniformemente.

Nota. En el sentido estricto del término, he calculado la probabilidad condicional más arriba. Es $P(A|B)=P(AB)/P(B)$ , donde $P(AB)=(1/6)^2(5/6)^5$ y $P(B)={{7}\choose{2}}(1/6)^2(5/6)^5$ .