Norma de $\mathbb{Q}_2(i)^\times$

Question

Estoy tratando de calcular el grupo norma de $\mathbb{Q}_2(i)^\times$. Si no me equivoco tenemos $\mathbb{Q}_2(i)^\times = (1+i)^\mathbb{Z}\mathbb{Z}_2[i]^\times$ % que $N(\mathbb{Q}_2(i)^\times) = N(1+i)^\mathbb{Z}N(\mathbb{Z}_2[i]^\times) = 2^\mathbb{Z} \{ a^2 + b^2 \;|\; a,b\in \mathbb{Z}_2 \text{ and } a^2 + b^2 \in \mathbb{Z}_2^\times \}$.

Por lo tanto, si lo escrito arriba es correcto, la pregunta es a qué corresponde exactamente $\{ a^2 + b^2 \;|\; a,b\in \mathbb{Z}_2 \text{ and } a^2 + b^2 \in \mathbb{Z}_2^\times \}$ $\mathbb{Z}_2[i]^\times$.

Answer 1

Es de suponer que usted está haciendo esto a un local classfield teoría de ejemplo explícitamente? Es decir, se anticipa que el índice es 2, para este (totalmente ramificada) cuadrática de extensión.

En un finito-índice subgrupo de las unidades, el $2$-ádico logaritmo converge (como hace el $2$-ádico exponencial en un finito-índice subgrupo de $\mathbb Z_2$), de modo que usted puede reducir a la análoga pregunta sobre algunos de los $\mathbb Z/2^N$, $N=3$ o menos, de un número finito de cálculo.

EDIT: más explícitamente, la exponencial $e^x=\sum_{n\ge 0} x^n/n!$ converge para $2$-ádico $x$${\rm ord}_2 x>2$, en el peor. Uno puede (re) hacer la estimación sobre los poderes de $2$ dividiendo exponenciales para recuperar el hecho. Para $p\not=2$ convergencia es mejor: para ${\rm ord}_p x>0$. Una discusión similar de logaritmo da una inversa de a $1+8\mathbb Z_2$ (o mejor) a $8\mathbb Z_2$. Hay similares exp y registro en el cuadrática de extensión, con un poco peor de convergencia debido a que la extensión es ramificado... y exp y registro de comportarse razonable con respecto a la norma en/seguimiento. Por lo tanto, un fin específico ("suficientemente pequeño" ... pero precisamente) finito-índice subgrupo de $\mathbb Z_2^\times$ es demostrable afectados por la norma. Por lo tanto, con el "8" se sustituye por lo que realmente debe ser, es suficiente para determinar la imagen de la norma de $1+8\mathbb Z_2[i]$ $1+8\mathbb Z_2$ (ambas de estas expresiones convencionales para finito de índice de subgrupos de las unidades locales).

Answer 2

Si ya sabes que el grupo de la norma es de índice dos en $\mathbb Q_2^*$, entonces no es tan difícil sólo adivinar algo que no es una norma. Usted sabe, supongo, que es el que $\mathbb Q_2^*$ $\langle 2,-1,1+4\mathbb Z_2\rangle$. Desde ese punto, no debería ser mucho más que hacer.

Si usted no sabe el índice de las normas en el grupo multiplicativo en la planta baja, supongo que es la mejor estrategia de @paulgarrett.