Mi libro dice como obvio, pero no es tan trivial para mí. Gracias
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
DanV
Puntos
281
Recordemos que un cardenal es un primer ordinal, un ordinal que no se puede poner en bijection en un menor ordinal. Gracias a el Cantor-Bernstein teorema es suficiente para demostrar que no hay inyección en un menor ordinal lugar.
Si un infinito ordinal $\alpha$ no es un ordinal límite, a continuación, hay algunos $\beta$ tal que $\alpha=\beta\cup\{\beta\}$.
El mapa de $g\colon\alpha\to\beta$ se define como: $$g(x)=\begin{cases} 0 & x=\beta\\x+1 & x<\omega\\x & \text{otherwise}\end{cases}$$ es inyectiva de a $\alpha$ en un menor ordinal, y por lo tanto $\alpha$ no puede ser un primer ordinal, que es un cardenal.
sewo
Puntos
58
Son ordinales , por definición, debido a que podemos elegir para el uso inicial de los números ordinales como la canónica representante de cada clase de conjuntos-con-la-misma-la cardinalidad. Esta elección, en principio, podría haber sido hecho de manera diferente, pero resulta ser una convención útil (aunque sólo funciona en cuando tenemos el Axioma de Elección).
Ellos son el límite de los números ordinales, porque (excepto 0) el límite de los números ordinales son precisamente los ordinales que no son sucesor de los números ordinales. Y una infinita sucesor ordinal siempre tiene la misma cardinalidad que el es un sucesor de (usted puede hacer un bijection que se mueve el último elemento de distancia en la inicial $\omega$ segmento con el estándar de la charla de hilbert-Hotel truco), por lo que un sucesor ordinal nunca es el primer ordinal con un dado de cardinalidad.
(Por otro lado, ten en cuenta que no todos los límite de los números ordinales son los cardenales).
