pasos para calcular el espacio de superficie cortada por un cilindro (ver imagen)

Question

El espacio de la superficie(en amarillo) $ x^2+y^2 = 2az\ $ es cortado por un cilindro(en verde) $x^2+y^2=3a^2 (a>0)$
Cómo calcular el corte de la parte de área $A$?
Creo que la parte que está entre los dos planos de $z=0$$ z= \frac32a $, y sólo tengo el conocimiento de la utilización de una fórmula $ \iint\limits_D \sqrt{1 + z^2_x + z^2_y} $, para calcular el $A$, y que debo usar porque no es un ejercicio para el uso de esta fórmula. En este caso, $ z=\frac1{2a}(x^2+y^2), D: x^2+y^2 \le 3a^2 $ , por lo que $$z_x = \frac1ax,\ z_y= \frac1ay$$ $$ A=\iint\limits_D \sqrt{1 + \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2}} dxdy= \frac1a \iint\limits_D \sqrt{a^2+x^2+y^2} dxdy $$ usando coordenadas polares para hacer la siguen los pasos: $$\frac1a \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt3a} \sqrt{a^2+r^2}r dr=\frac\pi a\frac23 ({a^2+r^2})^\frac32\bigg|_0^{\sqrt3a}=\frac{14} 3\pi a^2$$

Answer 1

Su trabajo es corrrect.

Tenga en cuenta que usted puede encontrar la superficie también como superficie de revolución de la parábola $$ x ^ 2 = 2az $$ alrededor del eje de $z-$de % de $0\le x\le a\sqrt{3}$. Esto es un poco más fácil y da la integral:

$ A = 2 \pi\int_0^{a\sqrt{3}}x\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}dx $$

que puede ser solucionado con la sustitución $1+\frac{x^2}{a^2}=t $ y da el mismo resultado que tu.