Funciones complejas continuas.

Question

Se nos da con un mapa de $g:\bar D\to \Bbb C$, la cual es continua en a $\bar D$ y analítica en $D$. Donde $D$ es un dominio acotado y $\bar D=D\cup\partial D$. A continuación, $\partial(g(D))\subseteq g(\partial D).$(ya sé, ¿cómo demostrarlo).

Necesito dos ejemplos:

a) en Primer lugar, demostrar que la inclusión puede ser estricta, que es: $\partial(g(D))\not= g(\partial D).$

b) Segundo ejemplo, necesito mostrar que la conclusión en (1) no es cierto si $D$ es no acotada.

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Hay un ejemplo, yo estaba trabajando en el día de ayer. Pero yo no podía entender completamente.

a) Si tomamos $g(z)= z^2$ y $D$ =\begin{cases}z, & \text{where 1<|z|<2} \\\end{casos} Esta $g$ no es 1-1.

Ahora, queremos demostrar que $g(\partial D)\not\subset \partial(g(D))$. Por lo tanto, debemos mostrar que $\exists$ $z\in g(\partial D)$ pero $z \not\in \partial(g(D))$. ¿Cómo vamos a demostrar que ???

Quiero hablar sobre el dominio $D$ y su imagen de mapa de $g$. Por favor, compruebe:

??

Answer 1

Estoy pensando en el siguiente ejemplo, para b):

Deje $g(z) = \frac{1}{z}$$D = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| > 1 \}$. A continuación, $\partial D$ es el círculo unitario, es decir,$\{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}$, y por lo tanto $g(\partial D) = \partial D$. También tenemos que $g(D)= \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1 \text{ and } z \neq 0 \}$. Pero esto significa que $\partial g(D)= \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} \cup \{ 0 \}$. Así que tenemos que $0 \in \partial g(D)$ pero $0 \notin g(\partial D)$.

Esto demuestra que $\partial g( D) \not \subset g(\partial D)$ si $D$ es no acotada.

Para dar un ejemplo) puedo modificar ligeramente la que usted propone. Yo defino $D$ $$\begin{equation} D= \{ r * e^{i \phi} \mid 0<\phi<\frac{\pi}{2};\ 0\leq r \leq 1 \} \cup \{ r * e^{i \phi} \mid \pi<\phi<\frac{5}{4}\pi;\ 0\leq r \leq 1 \} \end{equation}$$ y $g(z) = z^2$. Por lo $D$ es un cuarto de círculo unidad, además de un octavo de círculo unidad. El truco es que el límite de la octava unidad de círculo se "asignado a" la imagen del cuarto de círculo. Tomemos, por ejemplo, el punto de $z_0=\frac{1}{2}e^{i \frac{5}{4}\pi}$. Este punto es de $\partial D$ y obtiene asignada a $\frac{1}{4}e^{i \frac{1}{2}\pi}$ bajo $g$. Pero $g(D) = \{r * e^{i \phi} \mid 0<\phi<\pi;\ 0\leq r \leq 1\}$, lo que significa que $\frac{1}{4}e^{i \frac{1}{2}\pi} \notin \partial g(D)$.