Encontrar la solución general de un PDE Cuasilineales

Question

Esta es una tarea que estoy teniendo un poco de problemas con:

Encontrar una solución general de:

$(x^2+3y^2+3u^2)u_x-2xyuu_y+2xu=0~.$

Por supuesto que esto debe hacerse utilizando el método de las características pero tengo problemas para resolver las ecuaciones características puesto que ninguna de las ecuaciones de separar:

$\dfrac{dx}{x^2+3y^2+3u^2}=-\dfrac{dy}{2xyu}=-\dfrac{du}{2xu}$

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Siga el método en http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_equations#Example:

$(x^2+3y^2+3u^2)u_x-2xyuu_y+2xu=0$

$2xyuu_y-(x^2+3y^2+3u^2)u_x=2xu$

$2yu_y-\left(\dfrac{x}{u}+\dfrac{3y^2}{xu}+\dfrac{3u}{x}\right)u_x=2$

$\dfrac{du}{dt}=2$ , dejando $u(0)=0$, $u=2t$

$\dfrac{dy}{dt}=2y$ , dejando $y(0)=y_0$, $y=y_0e^{2t}=y_0e^u$

$\dfrac{dx}{dt}=-\left(\dfrac{x}{u}+\dfrac{3y^2}{xu}+\dfrac{3u}{x}\right)=-\dfrac{x}{2t}-\dfrac{3y_0^2e^{4t}}{2xt}-\dfrac{6t}{x}$

$\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{x}{2t}=-\left(\dfrac{3y_0^2e^{4t}}{2t}+6t\right)\dfrac{1}{x}$

Deje $w=x^2$ ,

A continuación, $\dfrac{dw}{dt}=2x\dfrac{dx}{dt}$

$\therefore\dfrac{1}{2x}\dfrac{dw}{dt}+\dfrac{x}{2t}=-\left(\dfrac{3y_0^2e^{4t}}{2t}+6t\right)\dfrac{1}{x}$

$\dfrac{dw}{dt}+\dfrac{x^2}{t}=-\dfrac{3y_0^2e^{4t}}{t}-12t$

$\dfrac{dw}{dt}+\dfrac{w}{t}=-\dfrac{3y_0^2e^{4t}}{t}-12t$

I. F. $=e^{\int\frac{1}{t}dt}=e^{\ln t}=t$

$\therefore\dfrac{d}{dt}(tw)=-3y_0^2e^{4t}-12t^2$

$tw=\int(-3y_0^2e^{4t}-12t^2)~dt$

$tx^2=-\dfrac{3y_0^2e^{4t}}{4}-4t^3+f(y_0)$

$x^2=-\dfrac{3y_0^2e^{4t}}{4t}-4t^2+\dfrac{f(y_0)}{t}$

$x=\pm\sqrt{-\dfrac{3y_0^2e^{4t}}{4t}-4t^2+\dfrac{f(y_0)}{t}}$

$x=\pm\sqrt{-\dfrac{3y^2}{2u}-u^2+\dfrac{2f(ye^{-u})}{u}}$