Número de soluciones de $\mathbb{F}_p$de % que $p \equiv 3 \, (\text{mod 4})$ (Silverman ' s AEC ejercicio 10.17a)

Question

Este es el Ejercicio 10.17 una de Silverman $\textit{The Arithmetic of Elliptic Curves}$.

Deje $p \equiv 3 \, (\text{mod 4})$ ser una de las primeras y deje $D \in \mathbb{F}_p^{\times}.$

Mostrar directamente que la ecuación $$C: v^2 = u^4 - 4D$$ has $p-1$ solutions $(u,v) \in \mathbb{F}_p \times \mathbb{F}_p.$

Sugerencia: Desde $p \equiv 3 \, (\text{mod 4})$, el mapa de $u^2 \mapsto u^4$ es un automorphism de $(\mathbb{F}_p^{\times})^2$. (Esto es cierto debido al hecho de que $\left(\frac{-1}{p}\right) = -1$ $p \equiv 3 \, (\text{mod 4})$ de una prima.)

He estado atrapado en este problema por más tiempo de lo que yo siento como que debería. Las direcciones que se indican a "mostrar directamente," pero siento que hay muchos casos diferentes a tener en cuenta para hacerlo de forma eficiente. El único "insight" he conseguido hasta ahora es que si $-4D$ es un cuadrado perfecto, entonces $(0,\pm \sqrt{-4D})$ son dos soluciones. Si $-4D$ no es un cuadrado perfecto, entonces por la Sugerencia, $4D$ es un cuadrado perfecto y por lo $(\pm \sqrt[4]{4D}, 0)$ son dos soluciones. Pero esto deja a $p-3$ soluciones no detectados (¡hurra por el caso de $p = 3$).

Mis temas principales son la manera de "mostrar directamente" hay $p-1$ soluciones y donde la Sugerencia se aplica principalmente. Me parece que tienen ideas que son indirectos y no hay planes sobre cómo hacer frente a ellos directamente.

Answer 1

El punto es que, siguiendo la pista, el número de soluciones de v^2=u^4-4D\qquad(1) $$ $$ es igual al número de soluciones de v^2=u^2-4D.\qquad(2) $$ $$ pero $(2)$ de la ecuación puede ser reescrita para leer 4D=u^2-v^2=(u-v)(u+v) $$. $$ Ya $4D\neq0$ hay $p-1$pares $(x,y)\in\Bbb{F}_p^*\times\Bbb{F}_p^*$ tal que $xy=4D$. Porque el sistema lineal $$ \left\{\begin{array}{ccc}u+v&=&x\\u-v&=&y\end{array}\right. $$ tiene una solución única $(u,v)$ a cada determinado $(x,y)$ (el determinante del sistema es igual a $-2\neq0$). Sigue el reclamo.