Una representación de la matriz por la matriz inversa.

Question

Tengo un problema de "Métodos de Algebriac de la Geometría en la Teoría de Control por Pedro Falb" libro de texto:

Mostrar que si $A$ $\,n\times n\,$ de la matriz, a continuación,$\displaystyle\,(zI-A)^{-1} = \sum_{j=1}^n \phi_j\left(z\right) A^{n-j} \big/ \det\left[zI-A\right]$. Calcular $\phi_j\left(z\right)$.

Estoy utilizando la siguiente fórmula: $$ {\left(zI-A\right)}^{-1} = \frac{1}{\det \left(zI-A\right)} \sum_{s=0}^{n-1}\left(zI-A\right)^{s} \sum_{k_1,k_2,\ldots ,k_{n-1}} \prod_{i=1}^{n-1} \frac{\left(-1\right)^{k_l+1}}{l^{k_l}\,k_{l}!}\, \left(\operatorname{tr}\left(zI-A\right)^l\right)^{k_l} $$ donde la segunda suma es $\displaystyle\,j+\sum_{l=1}^{n-1}lk_l=n-1$. Pero no veo cómo encontrar $\,\phi_j\left(z\right)$.

Alguien me puede ayudar en esto? Gracias de antemano.

P. S En el libro se sostiene que $\phi_j(z)$ es un polinomio de grado $n-j$.

Answer 1

Esta pregunta es un poco confusa como escrito-a partir de la notación uno podría inferir que $\phi_j(z)$ se supone que para ser independiente de la matriz $A$, pero esto no puede ser cierto; considerar por ejemplo,$n=2$; set $z=0, A = \left[\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right]$ para conseguir que

$$\left[\begin{array}{cc}-d & b\\c & -a\end{array}\right] = \phi_1(0) \left[\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right] + \phi_2(0) I$$ y no constantes $\phi_j(0)$ puede existir para que la igualdad se cumple para todos los $A$.

Si $\phi_j$ es que no requiere ser independiente de $A$, entonces usted ya tiene su respuesta en la fórmula que has publicado, después de algunos indización: \begin{align*} \sum_{s=0}^{n-1} (zI-A)^s f(s) &= \sum_{s=0}^{n-1} \sum_{k=0}^s \binom{s}{k} (-1)^k A^k z^{s-k} f(s)\\ &= \sum_{k=0}^{n-1} \sum_{s=k}^{n-1} \binom{s}{k} (-1)^k A^k z^{s-k} f(s)\\ &= \sum_{j=1}^{n} \sum_{s=n-j}^{n-1} \binom{s}{n-j} (-1)^{n-j} A^{n-j} z^{s-n+j} f(s) \end{align*}

y $$\phi_j(z) = \sum_{s=n-j}^{n-1} \binom{s}{n-j} (-1)^{n-j} z^{s-n+j} f(s)$$ donde $f(s)$ es su $$\sum_{k_1,k_2,\ldots ,k_{n-1}} \prod_{i=1}^{n-1} \frac{\left(-1\right)^{k_l+1}}{l^{k_l}\,k_{l}!}\, \left(\operatorname{tr}\left(zI-A\right)^l\right)^{k_l}.$$