Creo que hay una errata en la primera fórmula.
Permítanme proponer este (parcial) responder por la $3$ primer fórmulas:
Debido a $H(z)H(0) \sim -ln(z)$, podemos escribir la OPE para cualquier par de operadores de $F(H), G(H)$ funciones de $H$ (en analogía con la fórmula $2.2.10$ p.$39$ vol $1$)
$$:F::G: = e^{- \large \int dz_1 dz_2 ln z_{12} \frac{\partial}{\partial H(z_1)}\frac{\partial}{\partial H(z_2)}} :FG:\tag{1}$$
Esto le da, por $F = e^{i \epsilon_1 H(z_1)}, G = e^{i \epsilon_2 H(z_2)}$
$$:e^{i \epsilon_1 H(z_1)}::e^{i \epsilon_2 H(z_2)}: = (z_{12})^{\epsilon_1 \epsilon_2} :e^{i \epsilon_1 H(z_1)}e^{i \epsilon_2 H(z_2)}:\tag{2}$$
Así, tenemos :
$$:e^{iH(z)}::e^{-iH(0)}:~ = \frac{1}{z}~:e^{i H(z)}e^{-i H(0)}: ~\sim \frac{1}{z}:e^{i H(0)}e^{-i H(0)}: \sim \frac{1}{z}\tag{3}$$
$$:e^{iH(z)}::e^{iH(0)}:~ = z~:e^{i H(z)}e^{i H(0)}: ~\sim z~:e^{2i H(0)}: \sim O(z)\tag{4}$$
$$:e^{-iH(z)}::e^{-iH(0)}:~ = z~:e^{-i H(z)}e^{-i H(0)}: ~\sim z~:e^{-2i H(0)}: \sim O(z)\tag{5}$$
[EDITAR]
De la última ecuación, creo que es el mismo razonamiento que el que se hace en el Vol $1$, la página de $173,174$, fórmulas $6.2.24$ hasta $6.2.31$
[EDIT 2]
La fórmula $1$, y la fórmula $(2.2.10)$ no son fórmulas ad hoc. Estos son la consecuencia de una definición de la normal de ordenar, y el definitition de las contracciones. Estos son la consecuencia de la general de las fórmulas de $2.2.5$$2.2.9$, , por ejemplo :
$$F = :F:+ ~contractions \tag{2.2.8}$$
$$:F::G: = :FG:+ ~cross-contractions \tag{2.2.9}$$
Ahora, se puede especializarse para holomorphic campos de $Y(z)$, por lo que el $Y(z)Y(0) \sim f(z)$, y escribir :
$$:F::G: = e^{ \large \int dz_1 dz_2 f(z_{12}) \frac{\partial}{\partial Y(z_1)}\frac{\partial}{\partial Y(z_2)}} :FG:\tag{6}$$
donde $F$ $G$ son funciones de la $Y$
La especialización para un holomorphic campo no cambia la lógica y el cálculo hecho en $2.2.5$ $2.2.9$
