¿Cómo una acción de grupo izquierdo en la fibra de un paquete principal inducir a una acción correcta en el espacio total?

Question

Supongamos que definir un "director / a $G$-bundle" de la siguiente manera:

Un director de $G$-bundle es un haz de fibras $F \to P \overset{\pi}{\to} X$ con un grupo de la izquierda de la acción de $G$ $F$ que es gratis y transitiva, junto con una vulgarización de la cubierta cuya transición mapas se $G$valores.

Sin embargo, parece que muchas de las referencias definir los principales "$G$- bundle" a través de un derecho de acción de $G$ $P$ ($F$).

¿Cómo mi definición de inducir un derecho natural de acción de $G$$P$? Se puede hacer esto sin decir la frase "identificar a $F$$G$"?

La razón por la que me gustaría evitar este tipo de identificación es de dos veces. En primer lugar, me gustaría mantener la fibra $F$ y el grupo de $G$ independiente en mi cabeza ... al menos por ahora, en parte porque no todos los $G$-paquetes son los principales. Segundo, y más importante, me preocupa que cualquier identificación de $F$ $G$ implica una elección arbitraria de la base de punto de $F$, y prefiero que no hagan innecesarias las opciones, si es posible.

Finalmente, me gustaría decir que el especificado como banalizaciones en mi definición de "director / a $G$-bundle" se $G$-equivariant con respecto a las acciones en $P$$F$. Me gustaría deducir esto como una consecuencia de la definición de la $G$-acción en $P$, en lugar de tomar este equivariance como la definición de la acción.

A un lado, Como de costumbre, esta pregunta es un refinamiento de una anterior, menos centrado cuestión de la mina.

Answer 1

Una manera correcta de hacerlo (sin hacer una identificación que no te gusta), es asumir que tenemos dos desplazamientos de las acciones de $G$ $F$ (a la izquierda y a la derecha de las acciones). A continuación están los detalles.

Deje $g_{\alpha\beta}: U_\alpha\cap U_\beta\to G$ ser la transición de los mapas de la satisfacción de las cocycle condición. Deje $F$ ser cualquier izquierda $G$-espacio (la acción en este punto no necesita ser transitiva). Entonces uno de los formularios del paquete $E\to X$ (con las fibras diffeomorphic a $F$ en el buen ajuste) tomando el cociente de la inconexión de la unión $$ \tilde E=\sqcup_{\alpha} U_\alpha\times F $$ por la natural relación de equivalencia: $(x,v)\in U_\alpha \times F \sim (x,w)\in U_\beta\times F$ siempre $g_{\alpha\beta}v=w$ (aquí estamos usando la acción izquierda).

Ahora, supongamos, además, que tenemos una segunda acción, una acción correcta de $G$$F$, esta vez transitiva, los desplazamientos con la acción izquierdo usado anteriormente. Por ejemplo, si $F$ se identifica con $G$ sí (yo sé que usted no quiere hacer esta identificación explícita, por lo que este es sólo un ejemplo de la construcción), entonces podemos usar la acción de la $G$ sobre sí mismo a través de derecho de la multiplicación por el derecho a la acción y a la izquierda a través de la multiplicación por la izquierda de la acción.

El uso de este derecho de acción, el grupo $G$ también actúa de forma natural (a la derecha) en $\tilde E$. Esta acción desplazamientos con la izquierda la acción que se usan para hacer la identificación y, por lo tanto, los proyectos para un (a la derecha) $G$-acción en $E$. Ya hemos asumido que el derecho de acción de $G$ $F$ es transitiva, entonces la resultante de la acción correcta de $G$ $E$ es transitiva sobre las fibras, como es requerido por la costumbre definición de un director de una agrupación. Espero que ayude a aclarar la confusión.