Cuestión de distribución de probabilidad exponencial

Question

La vida de tres diferentes tipos de componentes de la computadora sigue una distribución exponencial con parámetros 1, 2 y 3 (en particular, que significa que las duraciones promedio para los tres tipos 1, 2 y 3 años) es decir, $$f_1(x_1) = e^{-x_1}, f_2(x_2) = \frac{1}{2}e^{-\frac{x_2}{2}}, f_3(x_3) = \frac{1}{3}e^{-\frac{x_3}{3}}$$ with support sets x_i = 0, i = 1,2,3. One component from each type is randomly sampled and the corresponding lifetimes recorded. Find $%$ $P(X_1 > 5X_2>10X_3)$

Answer 1

Obtener $1/374$ cuando evalúan $$P\left(X_1 > 5 X_2 > 10 X_3\right) = \int_0^\infty dx_3 \ f_3\left(x_3\right) \int_{2 x_3} ^ \infty dx_2 \ f_2\left(x_2\right) \int_{5 x_2} ^ \infty dx_1 \ f_1\left(x_1\right).$$

Answer 2

La solución básica técnica sería algo como lo siguiente...

Si el fracaso del primer elemento que sucede en el tiempo $x$, entonces el fallo del segundo elemento tiene que suceder antes de tiempo $5x$ o mayor, y el evento que sucede con probabilidad

$$\int_0^{5x} \frac{1}{2}e^{-\frac{t}{2}}dt = \left.-e^{-\frac{t}{2}}\right|_0^{5x} = 1-e^{-\frac{5x}{2}}$$

En el caso de integrar la función anterior para todos los posibles valores de $x$ ponderados por su probabilidad relativa (la primera función de densidad de probabilidad), se obtiene

$$\int_0^\infty e^{-x} (1-e^{-\frac{5x}{2}}) dx = \int_0^\infty (e^{-x}-e^{-\frac{7x}{2}}) dx = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$$

Por lo $P(X_1 > 5X_2) = \frac{5}{7}$.

Su problema es un poco más complicado, pero que deben ser resueltos utilizando el mismo principio.