Una flecha es mónica en la categoría de conjuntos G si y sólo si es mónica la categoría de conjuntos

Question

Dejemos que $G$ ser un grupo, considerado como categoría con un objeto $*$ en la que cada flecha es invertible. Entonces la categoría de $G$ -Sets es simplemente la categoría de funtores de $G$ a $\mathbf{Set}$ . Ahora he leído que una flecha $\varphi: \tau \to \tau'$ (donde $\tau$ y $\tau'$ son funtores de $G$ a $\mathbf{Set}$ ) en la categoría de $G$ -Sets es mónico si y sólo si $\varphi_*$ es mónico en $\mathbf{Set}$ . Me cuesta ver por qué es cierta la parte de esta afirmación "sólo si".

Answer 1

Como wildildildlife señaló, el enfoque ingenuo es considerar los morfismos $\alpha_0, \alpha_1 : \sigma\to\tau$ , donde $\sigma$ es el objeto "trivial". El error es que un conjunto único es un conjunto "trivial", en cambio necesitamos una acción "trivial" de $G$ (= $G$ -conjunto). Es la acción canónica de $G$ sobre sí mismo dado por la operación currificada 2-aria de $G$ (como en Teorema de Cayley ¡)!

Denotemos por $|\rho|$ el portador y por $\triangleleft_\rho$ el funcionamiento de cualquier acción $\rho$ de $G$ . Vamos a $\sigma$ sea la acción canónica de $G$ entonces $|\sigma|=|G|$ , $\forall g_0 g_1 (g_1\triangleleft_\sigma g_0 = g_1 +_G g_0)$ .

Por cada $x\in|\tau|$ (usted definió $\tau$ en su pregunta) definir una función $\psi(g):=g\triangleleft_\tau x$ . Por definición de la acción, $g_1\triangleleft_\tau (g_0\triangleleft_\tau x) = (g_1 + g_0)\triangleleft_\tau x$ , $g_1\triangleleft_\tau (\psi(g_0)) = \psi(g_1 + g_0) = \psi(g_1\triangleleft_\sigma g_0)$ entonces $\psi:\sigma\to\tau$ es un homomorfismo de acciones. $\psi(0)=0\triangleleft_\sigma x=0 + x=x$ es decir, podemos tener un homomorfismo que mapee $0$ a cualquier $x$ que queremos. Proceder como en el enfoque ingenuo.

$\sigma$ es un separador en la categoría de acciones de $G$ .

Answer 2

La siguiente respuesta demuestra un resultado más general que muestra una aplicación del lema de Yoneda, así que espero que os guste.

Dejemos que $\mathcal F, \mathcal G \colon A \to \textbf{Set}$ sean dos funtores, entonces dada una transformación natural $\tau \colon \mathcal F \to \mathcal G$ tenemos que $\tau$ es mónico si y sólo si $\tau_a$ es mónico para cada $a \in A$ .

Probemos esto. Si para cada $a \in A$ tenemos $\tau_a$ monic claramente dado un functor $\mathcal E \colon A \to \textbf{Set}$ y dos transformaciones naturales $\sigma^1, \sigma^2 \colon \mathcal E \to \mathcal F$ tal que $\tau \circ \sigma^1 = \tau \circ \sigma^2$ entonces tenemos que para cada $a \in A$ mantener la igualdad $\tau_a \circ {\sigma^1}_a = \tau_a \circ {\sigma^2}_a$ y porque $\tau_a$ es mónico por lo que se deduce que $\sigma^1_a= \sigma^2_a$ . Dado que esta ecuación es válida para cada $a \in A$ tenemos $\sigma^1=\sigma^2$ .

En el otro extremo también tenemos que dado un $\tau \colon \mathcal F \to \mathcal G$ que es mónico entonces por el lema de Yoneda para cada $a \in A$ existe un isomorfismo natural $\varphi \colon \text{Nat}(A(a,-),\bullet) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \bullet (a)$ : los funtores implicados son el $\hom$ -funcionario $\text{Nat}(A(a,-),\bullet) \colon \textbf{Cat}(A,\textbf{Set}) \to \textbf{Set}$ El argumento se identifica con el $\bullet$ y el functor de evaluación $\bullet (a) \colon \textbf{Cat}(A,\textbf{Set}) \to \textbf{Set}$ que envía cada functor en su valor sobre $a$ .

A través de la naturalidad de $\varphi$ obtenemos que las ecuaciones

$$\tau_a \circ \varphi_\mathcal{F} = \varphi_\mathcal{G} \circ \text{Nat}(A(a,-),\mathcal G)$$

debe mantenerse para cada $a \in A$ . Pero como $\varphi$ es un isomorfismo esto implica que $\varphi_\mathcal{H}$ es un isomorfismo en $\textbf{Set}$ para cada functor $\mathcal H \colon A \to \textbf{Set}$ y así $\tau_a = \varphi_\mathcal{G} \circ \text{Nat}(A(a,-),\tau) \circ \varphi_\mathcal{F}^{-1}$ . Para las propiedades de $\hom$ -y debido a la hipótesis $\tau$ también es mónico $\text{Nat}(A(a,-),\tau)$ es mónico y por lo tanto $\tau_a$ es monico siendo composición de monicos.

Edit: ops Acabo de notar que me he olvidado de resolver tu pregunta: es un corolario de este teorema en el caso de que $A=G$ es el grupo visto como una categoría.

Answer 3

Gracias a beroal por su respuesta. Me permito añadir la siguiente perspectiva:

Para demostrar que en una categoría concreta monic implica inyectiva En ocasiones se puede utilizar una identificación entre "elementos" y "flechas", porque "mónico" significa básicamente inyectivo en flechas.

• En $\sf{Set}$ , $\sf{Top}$ : $Hom(\{\star\},X)\cong X$ a través de $f\mapsto f(\star)$ .
• En $\sf{Gr}$ y $\sf{Ab}$ : $Hom(\mathbb{Z},G)\cong G$ a través de $f\mapsto f(1)$ .
• En $\sf{Ring}$ : $Hom(\mathbb{Z}[x],R)\cong R$ a través de $f\mapsto f(x)$ .

En otras palabras, el functor de olvido es representado por $\{\star\},\mathbb{Z},\mathbb{Z}[x]$ (el objeto libre en el conjunto de los singletons) respectivamente.

Lo mismo ocurre en $G$ - $\sf{Set}$ tomando $G$ como "Cayley $G$ - conjunto:

$Hom(G,X)\cong X$ a través de $f\mapsto f(e)$ .