Probar filas se distribuyen uniformemente

Question

Tenemos n variables aleatorias IID $X_1, X_2, \ldots, X_n$. Deje $R_i$ $X_i$'s clasificación en el conjunto de $\{X_1, X_2, \ldots, X_3 \}$ cuando se de la orden de grande a pequeño. Cómo demostrar a $R_i, \forall i \in \{1, 2, \ldots, n\}$, distribuido de forma uniforme en $\{1, 2, \ldots, n\}$?

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Mi primera conjetura es que, para cualquier posición $j$ en secuencia ordenada de $X$s, $X_1, X_2, \ldots, X_n$ son igualmente propensos a ser el $j$th más grande,

$$\Pr \{ R_i = j \} = \frac 1 n.$$

Por lo $R_i$ es distribuido uniformemente en $\{1, 2, \ldots, n\}$.

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Otra forma de pensar, es contar cuántos casos posibles hay al $R_i = j$. Como $X_i$'s posición en la secuencia ordenada se fija en $j$, entonces podemos permutar el resto de $X$s para obtener todos los posibles secuencia ordenada. Desde allí se $n-1$ variables de la izquierda, hay $(n-1)!$ de las situaciones. Como para cualquier $R_i = j, 1 \le j \le n$, siempre hay $(n-1)!$ posible ordenado de secuencias, podemos decir $R_i$ es distribuido uniformemente en $\{1, 2, \ldots, n\}$.

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Son estos 2 prueba rigurosa?

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Editar:

Como el cardenal señaló, una condición adicional es necesaria para la prueba, y una cantidad suficiente de la condición es que el $X_i$ a ser una variable aleatoria continua.

Answer 1

Supongamos que $Y_1 = X_2$, $Y_2=X_3$, y $Y_3 = X_1$. Si usted puede demostrar que la distribución conjunta del vector $(Y_1,Y_2,Y_3)$ es la misma que la distribución conjunta del vector $(X_1,X_2,X_3)$, luego de ello se deduce que la probabilidad de que $X_1$ tiene un cierto rango, es la misma que la probabilidad de que $Y_1$ ha dicho rango. Pero la última es la probabilidad de que $X_2$ ha dicho rango. Por lo tanto la probabilidad de que $X_1$ tiene un cierto rango, es la misma que la probabilidad de que $X_2$ ha dicho rango. Como con $1$$2$, así también con los demás. Así $$ \Pr(R_1 = j) = \Pr(R_2=j)=\cdots=\Pr(R_n=j). $$ Desde estas son mutuamente excluyentes y exhaustivas de los eventos, cada uno debe tener la probabilidad de $1/n$. Observe que no necesitamos saber el valor de $j$ para este. Por lo tanto $$ \Pr(R_1 = 1) = \Pr (R_1=2) = \Pr(R_1=3) = \cdots = \Pr(R_1=n) = \frac1n, $$ y lo mismo ocurre con cualquier de los otros índices, además de a $1$.

Así que su primera suposición era correcta, pero se puede decir un par de cosas para demostrar que es correcto, y de la llamada que una prueba.