$\sigma>0$, Cómo podemos demostrar que $$\frac{1}{2}\int_{-1}^1 \text{erf}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}+\text{erf}^{-1}(x)\right) \, \mathrm{d}x= \text{erf}\left(\frac{\sigma}{2}\right)$ $ donde erf es la función de error, %#% $ de #% el resultado fue obtenido por retoques, y me preguntaba si hay una derivación concisa.
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Dejó así $u=\text{erf}^{-1}(x)$ que #% el %#% y $x=\text{erf}\left(u\right)$ luego $dx=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-u^{2}}du.$$$I(\sigma)=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\text{erf}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}+\text{erf}^{-1}(x)\right)dx=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^{2}}\text{erf}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}+u\right)du.$\sigma$ Differentiating with respect to $$ we find that $$\frac{\partial I(\sigma)}{\partial\sigma}=\frac{\sqrt{2}}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^{2}}e^{-(u+\sigma/\sqrt{2})^{2}}du,$u=y/\sqrt{2}$ and so substituting $$ we have $$\frac{\partial I(\sigma)}{\partial\sigma}=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}+y\sigma-\sigma^{2}/2}dy=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(y+\sigma/2)^{2}-\sigma^{2}/4}dy=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-\sigma^{2}/4}.$$ Hence $$ como se desee.
user227143
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Lo hice rápido sin revisar demasiado. Podría dar inspiration.$$\int erf( \frac{\sigma}{\sqrt{2}} + erf^{-1}(x)) dx$$ To solve, we first do the variable exchange $u = \frac{\sigma}{\sqrt{2}}-$ erf^{-1}(x); Por el derivado del función inversa nos encontramos con que $du = \frac{\sqrt\pi}{2}e^{erf^{-1}(x)} dx$. Resolviendo para x antedicho ecuación y enchufándolo en rendimientos nos con $du =\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{u-\frac{\sigma}{2}}$ por lo tanto la integral se transforma en: $$\int erf(u)*e^{-{u-\frac{\sigma}{\sqrt{2}}}} du$ $ con diferenciación parcial $ s = erf (u)$ y $ dt = e^{-({u-\frac{\sigma}{2}})}$ deben resolver muy fácilmente.
