Tengo un problema con esta integral:
$$\int \frac{\arcsin{e^x}}{e^x}dx$$
Me dieron un resultado: $$\int\frac{\arcsin{e^x}}{e^x}dx=-\frac{\arcsin{e^x}}{e^x}-\ln|\sqrt{e^{-2x}-1}+e^{-x}|+C$$, pero el wolphram alpha y el libro donde esta integral es como un exersise dar esta respuesta:
$$\int\frac{\arcsin{e^x}}{e^x}dx=x-e^x\arcsin{e^x}-\ln(1+\sqrt{1-e^{2x}})+C$$
Donde puedo hacer una misteake? Esta es mi solución:
$$\int \frac{\arcsin{e^x}}{e^x}dx=\int \frac{e^x\arcsin{e^x}}{e^{2x}}dx $$
Ahora,
$t=e^x$
$dt=e^xdx$
$$\int \frac{\arcsin{e^x}}{e^x}dx=\int\frac{\arcsin{t}}{t^2}dt$$
Ahora, puedo integrar por partes:
$u=\arcsin{t},\ v^{'}=\frac{1}{t^2}$
$u^{'}=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}},\ v=-\frac 1t$
Por lo tanto, $$\int \frac{\arcsin{t}}{t^2}dt=-\frac{\arcsin{t}}{t}+\int\frac{dt}{t\sqrt{1-t^2}}$$
$s=\frac 1t$
$t=\frac 1s$
$dt=-\frac{1}{s^2}ds$
y me da
$$\int\frac{dt}{t\sqrt{1-t^2}}=-\int\frac{ds}{s^2\sqrt{1-\frac{1}{s^2}}\cdot \frac 1s}= -\int\frac{ds}{\sqrt{s^2-1}}=-\ln|\sqrt{s^2-1}+s|+C^{'}$$
De esto podemos obtener:
$$\int\frac{\arcsin{e^x}}{e^x}dx=-\frac{\arcsin{e^x}}{e^x}-\ln|\sqrt{e^{-2x}-1}+e^{-x}|+C$$
