¿Cómo de fundamental es la identidad de Euler, realmente?

Question

La identidad de Euler, obviamente, establece que $e^{i \pi} = -1$ que se deriva del hecho de que $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$ . El problema que tengo es que esa segunda ecuación parece ser más una definición que un resultado, al menos por lo que he leído. Resulta que es conveniente. Del mismo modo, la naturaleza exacta del uso de radianes como la entrada de "números puros" a las funciones trigonométricas es una cuestión similar de conveniencia - sería fundamentalmente erróneo definir el seno y el coseno como comportándose de la misma manera que lo hacen ahora, excepto en un período de $1$ en lugar de $2 \pi$ ? En un sistema así, $e^{i \pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = \cos(\pi - 3) + i\sin(\pi - 3)$ o transformando volver en nuestro $2\pi$ -período del sistema para obtener un resultado, $\cos(\pi\frac{(\pi - 3)}{1}) + i\sin(\pi\frac{(\pi - 3)}{1})$ que es aproximadamente $0.903 + 0.430i$ . (Espero haberlo hecho bien).

Dado que hay sistemas igualmente verdaderos desde el punto de vista matemático en los que $e^{i \pi}$ da resultados poco elegantes, estoy preguntando si el hecho de que $e^{i \pi} = -1$ realmente demuestra alguna conexión oculta entre $e$ y $\pi$ y los reales e imaginarios, ya que se basa en gran medida en lo que me parecen definiciones arbitrarias de conveniencia más que en verdades matemáticas fundamentales.

Answer 1

La función real $\exp: \mathbb R \to \mathbb R$ es la solución única del problema de valor inicial $f'(x)=f(x)$ y $f(0)=1$ . La función compleja $\exp: \mathbb C \to \mathbb C$ se define exactamente de la misma manera - como la única función compleja-diferenciable que satisface el mismo problema de valor inicial. El hecho de que dicha solución exista sobre $\mathbb C$ no es nada obvio; hay que demostrarlo. La forma más fácil de demostrarlo es utilizando la expansión en serie de Taylor de $\exp(z)$ . De hecho, esta es la única forma de ampliar $\exp$ de $\mathbb R$ a $\mathbb C$ manteniendo la condición de que sea diferenciable.

Sucede que, cuando $\exp$ se define así, obtenemos la identidad $\exp(ix) = \cos(x)+i\sin(x)$ , donde $\cos$ y $\sin$ utilizar los radianes . No hay elección aquí; esto es simplemente lo que sale de la definición $\exp$ de la única manera posible adecuada para el análisis.

Para ver esto utilizando las series de Taylor, es necesario saber cuál es la serie de Taylor para $\exp$ , $\cos$ y $\sin$ son, donde $\cos$ y $\sin$ utilizar los radianes. Asumiré que estos son conocidos, y lo son:

$$\exp(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} = 1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!} + \cdots,$$

$$\sin(z) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} = z - \frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots,$$

y

$$\cos(z) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!} = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots.$$

La idea es simplemente poner $ix$ en para $\exp(z)$ . Sólo mostraré lo que se obtiene con los primeros términos:

$$\exp(ix) = 1+(ix)+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\cdots$$ $$=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\cdots$$ $$=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\right)+i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\right)$$

donde he recogido partes reales e imaginarias en el último paso. La observación es simplemente que la parte real coincide con la serie de taylor para $\cos(x)$ y la parte imaginaria coincide con la serie de Taylor para $\sin(x)$ .

Answer 2

Una de las cosas más notables de esta identidad es que se desprende de tantas definiciones diferentes de los términos. No es sólo una conveniencia o una casualidad, sino que surge de casi cualquier definición válida de exponenciación.

Así, por ejemplo, consideremos la definición $$e^x = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$$ que es históricamente donde $e$ surgió por primera vez, en los trabajos de Jacob Bernoulli.

Así que ahora podemos preguntarnos: ¿conduce esta definición a la identidad de Euler? O, más explícitamente, ¿es $$\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{ix}{n}\right)^n = \cos(x) +i\sin(x)\ ?$$ Por supuesto que aquí, y más adelante, utilizamos la versión del radián de las funciones trigonométricas, y $x\in \mathbb{R}$ .

Para responder a esto, supongamos que $|zw| = |z||w|$ y $\arg (zw) = \arg(z) +\arg(w) (\mod 2\pi)$ . Podemos derivar estas identidades utilizando el álgebra y resultados de la geometría que tienen más de 2000 años de antigüedad. Además, estas funciones son continuas, lo que es obvio para $|\cdot|$ y es cierto para $\arg$ en la topología correcta.

Ahora podemos calcular el módulo del límite correspondiente. $$\begin{align*} |e^{ix}| &= \left| \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{ix}{n}\right)^n \right|\\ &= \lim_{n\to\infty} \left| \left(1 + \frac{ix}{n}\right)^n \right| \\ &= \lim_{n\to\infty} \left| \left(1 + \frac{ix}{n}\right)\right|^n \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{x^2}{n^2} \right)^{n/2} \\ &= \lim_{n\to\infty} \left(\left( 1 + \frac{x^2}{n^2} \right)^{n^2}\right)^{1/2n} \\ &= \lim_{n\to\infty} \left(e^{x^2}\right)^{1/2n} \\ &= 1 \end{align*}$$ La primera línea es nuestra definición, la segunda se justifica por la continuidad, la tercera por nuestra identidad de módulo, la cuarta por la definición de módulo, y a partir de ahí jugamos con los exponentes y usamos nuestra definición de la exponencial (hay otra forma de hacerlo con los logaritmos, pero esto debería estar bien).

También podemos calcular el argumento. $$\begin{align*} \arg(e^{ix}) &= \arg\left( \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{ix}{n}\right)^n \right)\\ &= \lim_{n\to\infty} \arg\left(\left(1 + \frac{ix}{n}\right)^n \right)\\ &= \lim_{n\to\infty} n \arg\left(1 + \frac{ix}{n}\right)\\ &= \lim_{n\to\infty} n \arctan\left(\frac{x}{n}\right) \\ &= \lim_{h\to\infty} \frac{ \arctan(xh) - \arctan(0) }{ h } \\ &= \left. \frac{\text{d}\arctan'(xt)}{\text{d}t}\right\vert_{t=0} \\ &= x. \end{align*}$$ las justificaciones aquí son muy parecidas a las anteriores, con un poco de cálculo al final.

Tomando nuestros dos resultados juntos, y usando un poco más de geometría, tenemos que $$e^{ix} = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{ix}{n}\right)^n = \cos(x) + i \sin(x)$$ y por implicación $$e^{i\pi} = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{i\pi}{n}\right)^n = -1$$ . Por lo tanto, esto no es algo arbitrario, aparece con todas las definiciones de exponenciación que se pueden extender fácilmente a los números complejos.

En fin, espero que esto aporte algo a tu comprensión @Why-Seven-Six.

Answer 3

El uso de los radianes en las funciones trigonométricas es una consecuencia del cálculo, ya que al medir los ángulos en radianes se obtiene $\cos'(x) = -\sin(x)$ y $\sin'(x) = \cos(x)$ y, cuando pasas a las segundas derivadas, $\cos''(x)= - \cos(x)$ y $\sin''(x) = - \sin(x)$ . Esto es muy conveniente, ciertamente, pero también sugiere algo fundamental sobre el uso de los radianes. Siempre he considerado la identidad de Euler como una curiosidad, pero no la relación entre la función exponencial y las funciones trigonométricas; éstas se hacen más evidentes cuando se estudian las ecuaciones diferenciales lineales. Por ejemplo, la solución de $f''(x)-f(x)=0$ es $A\exp(x) +B\exp(-x)+C\sin(x) +D\cos(x)$ , donde $A, B, C$ y $D$ son constantes arbitrarias.

Si conoces las expansiones de Taylor de las funciones exponenciales y trigonométricas, prueba a introducir ix como argumento de la exponencial y mira lo que obtienes.

Answer 4

Me pregunto si el hecho de que $e^{i \pi} = -1$ realmente demuestra alguna conexión oculta
entre $e$ y $\pi$ y los reales e imaginarios, ya que se apoya en gran medida en lo que me parece
ser definiciones arbitrarias de conveniencia y no verdades matemáticas fundamentales.

Vea mis respuestas en los siguientes cuatro posts, y dígame lo que piensa:

• ¿Por qué $e$ y $\pi$ tan comunes como los resultados de campos aparentemente no relacionados?

• ¿Me equivoco al pensar que $e^{i \pi} = -1$ ¿es apenas notable?

• ¿Es posible explicar intuitivamente, cómo los tres números irracionales $e$ , $i$ y $\pi$ ¿están relacionados?

• Factorial en serie de potencias; ¿interpretación intuitiva/combinatoria?