¿Está acotado este producto de funciones Gamma?

Question

Considera el siguiente término:

$$q(z,x):=\bigg\vert\frac{\Gamma(\sqrt{z} + 1 + ix)\Gamma(\sqrt{z} + 1 - ix)}{\Gamma(\sqrt{z} + 1)\Gamma(\sqrt{z} + 1)}\bigg\vert\cdot e^{\pi x}. $$

Me gustaría saber si la función $q$ está acotado para todos los valores $x\in\mathbb{R}$ y $z=a+ib$ con $a>0$ fijo y $b\in\mathbb{R}$ . Es decir, quiero saber si la siguiente afirmación es correcta:

$$\exists\, c,a>0\,\forall x,b\in\mathbb{R}: \vert q(z,x) \vert \leq c,\, \text{where }z=a+ib.$$

Desgraciadamente, no he podido encontrar ninguna referencia para esa estimación y, efectivamente, parece un problema difícil. ¿Cómo se podría analizar esa función? En caso de que la afirmación anterior no sea cierta: ¿Cuál sería la mejor estimación a la que se puede aspirar?

Agradecería mucho cualquier ayuda.

Answer 1

Transformaciones complejas

Dejemos que $$\sqrt z = u + iv,$$ entonces $$a = u^2-v^2,\quad b = 2uv,\quad u\ge 0,\tag1$$ $$q(u,v,x) = \left|\Gamma(u+1+i(v+x))\Gamma(u+1+i(v-x))\over\Gamma^2(u+1+iv)\right|e^{\pi x}.$$ Utilicemos la fórmula $$\left|\Gamma(x+iy)\over\Gamma(x)\right|^2 = \prod_{n=0}^{\infty}\left(1+{y^2\over (x+n)^2}\right)^{-1}$$ (M. Abramowitz e I. A. Stegun. Handbook of mathematical functions), entonces $$\left|\Gamma(u+1+i(v\pm x))\over\Gamma(u+1)\right|^2 = \prod_{n=1}^{\infty}\left(1+{(v\pm x)^2\over (u+n)^2}\right)^{-1},$$ $$\left|\Gamma(u+1+iv))\over\Gamma(u+1)\right|^2 = \prod_{n=1}^{\infty}\left(1+{v^2\over (u+n)^2}\right)^{-1},$$ entonces $$q^2(u,v,x) = e^{2\pi x}\prod_{n=1}^{\infty}{(u+n)^2 + v^2\over(u+n)^2 + (v+x)^2}\cdot{(u+n)^2 + v^2\over(u+n)^2 + (v-x)^2}$$ $$= e^{2\pi x}\prod_{n=1}^{\infty}{\left((u+n)^2 + v^2\right)^2\over (u+n)^4 + 2(v^2+x^2)(u+n)^2 + (x^2-v^2)^2}$$ $$\ge e^{2\pi x}\prod_{n=1}^{\infty}{\left((u+n)^2 + v^2\right)^2\over (u+n)^4 + 2|v^2-x^2|(u+n)^2 + (v^2-x^2)^2}$$ $$\ge e^{2\pi x}\prod_{n=1}^{\infty}{\left((u+n)^2 + v^2\right)^2\over (u+n)^2 + |v^2-x^2|)^2}.$$ Es fácil ver que $q(u,v,0)=1.$

Al mismo tiempo, $$q(u,v,x) \ge e^{\pi x}\quad \text{when}\quad x^2 < 2v^2.$$

Así que para el caso arbitrario la respuesta es: NO.

De verdad $z$

Consideremos la situación $$z\in\mathcal R,\quad q = \sqrt z.$$ Entonces $$q(u,x) = \left|\Gamma(u+1+ix))\Gamma(u+1-ix))\over\Gamma^2(u+1)\right|e^{\pi x} = e^{\pi x}\prod_{n=0}^{\infty}\left(1+{x^2\over (u+1+n)^2}\right)^{-1},$$ $$\log q(u,x) \le \pi x - \sum_{n=0}^{\infty} \log\left(1+{x^2\over (u+1+n)^2}\right) \le \pi x - \sum_{n=1}^{\infty} {x^2\over (u+n)^2}\le \pi x - x^2\sum_{n=1}^{\infty} {1\over n^2} = \pi x - {\pi^2\over6}x^2 \le \pi{3\over\pi} - {\pi^2\over6}{9\over\pi^2} = {3\over2}.$$

Así que de verdad $z$ la respuesta es: SÍ.