relación entre determinante

Question

Estoy un poco confundida con este determinante. Tenemos el determinante

\Right\vert$$ $$ \Delta_n=\left\vert\begin{matrix} 5&3&0&\cdots&\cdots&0\\ 2&5&3&\ddots& &\vdots\\ 0&2&5&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots& &\ddots&\ddots&\ddots&3\\ 0&\cdots&\cdots&0&2&5\end{matrix}

para una matriz $\mathbb{M}_n$ % n $\geq2$.

Calcular el $\Delta_2=19$, $\Delta_3=65$

A continuación, me gustaría encontrar una relación $n\geq 4$ que % de enlaces $\Delta_n, \Delta_{n-1}$y $\Delta_{n-2}$ y así encontrar una expresión de $\Delta_n$. ¿Cómo podríamos hacer $n\geq 4$?

Gracias

Answer 1

Tiene una matriz tridiagonal. Una matriz del tridiagonal tiene una forma bonita para el determinante. Si la diagonal es $a_1,a_2, \ldots$, sobre diagonal $b_1,b_2,\ldots$ y por debajo de la diagonal es $c_1,c_2,\ldots$, entonces el determinante de la $n$-ésima principal menor (es decir, la matriz formada por la superior izquierda $n \times n$ submatriz) viene dada por la repetición siguiente:

$f_1 = |a_1|, f_0 = 1, f_{-1} =0$

$f_n = a_n f_{n-1} - c_{n-1} b_{n-1} f_{n-2}$