Demostrar que para cualquier $n\in\mathbb{N}$ tenemos $ |x-a_0.a_1a_2\cdots a_n|\leq \frac{1}{10^n}$

Question

Que $a_0\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ y $\{a_1,a_2,\ldots\}\subset\{0,1,2,\ldots, 9\}$. Definir la exansion decimal infinito $x=a_0.a_1a_2\cdots$. Demostrar que para cualquier $n\in\mathbb{N}$ tenemos $ |x-a_0.a_1a_2\cdots a_n|\leq \frac{1}{10^n}$.

Yo estaba pensando con la prueba que $\sup(S+T)=\sup(S)+\sup(T)$ (lo he hecho en clase ya) y separar la infinita secuencia decimal como $a_0 + a_1*(10^{-1}) + a_2*(10^{-2})+\cdots$ para probar esto pero no exactamente seguro cómo.

Answer 1

Tienes $$ | x-a_0.a_1a_2\cdots a_n | = \sum_ {k = n + 1} ^ \infty a_k\, 10 ^ {-k} \leq\sum_{k=n+1}^\infty9\times10^{-k}=\frac{9\times10^{-n-1}}{1-10^{-1}}=10^{-n} $$