$J(\mathcal{O})\cong\bigoplus_{\mathfrak{p}} P(\mathcal{O}_\mathfrak{p})$ unidimensional noetheriano dominios (de Neukirch)

Question

Estoy teniendo problemas en la comprensión de Neukirch la prueba de la proposición en el título ((12.6), pág. 75 de su Teoría Algebraica de números de la libreta). Él utiliza la siguiente CRT-como la proposición:

Si $\mathfrak{a}\neq 0$ es un ideal de a$\mathcal{O}$, $\mathcal{S}/\mathfrak{a}\cong \bigoplus_\mathfrak{p} \mathcal{S}_\mathfrak{p}/\mathfrak{a}\mathcal{S}_\mathfrak{p}$.

Para demostrar la surjectivity del mapa $\mathfrak{a}\mapsto (\mathfrak{a}_\mathfrak{p})$ que establece la $\mathfrak{a}=\bigcap_\mathfrak{p} a_\mathfrak{p}\mathcal{O}_\mathfrak{p}$ para una determinada elección de la $a_\mathfrak{p}$'s $K^*$ (casi todos iguales a 1) y demuestra que el $\mathfrak{a}$ es un ideal fraccional.

A continuación, con el fin de demostrar que el $\mathfrak{a}\mathcal{O}_\mathfrak{p}=a_\mathfrak{p}\mathcal{O}_\mathfrak{p}$, se corrige un alojamiento ideal $\mathfrak{p}$ y elige $c\in\mathcal{O}\setminus\{0\}$ tal que $ca_\mathfrak p^{-1}a_\mathfrak q\in\mathcal{O}_\mathfrak{q}$ todos los $\mathfrak{q}$. Se aplica la declaró proposición para encontrar una $a\equiv c\pmod{\mathfrak{p}}$ tal que $a\in ca_\mathfrak p^{-1}a_\mathfrak q\mathcal{O}_\mathfrak{q}$ todos los $\mathfrak{q}\neq\mathfrak{p}$.

(1) Para que el ideal es que la aplicación de la propuesta?
(2) Se deduce entonces que el $ac^{-1}$ es una unidad en $\mathcal{O}_\mathfrak{p}$ pero no puedo ver por qué ($a\equiv c\pmod{\mathfrak{p}}$ no es suficiente).

PS: En la prueba de la CRT-como la proposición dice el autor que el hecho de que $\mathfrak{p}$ es sólo el primer ideal que contiene a $\mathcal{O}\cap\mathfrak{a}\mathcal{O}_\mathfrak{p}$ se desprende directamente de la correspondencia estándar para el primer ideales en una localización, pero yo era capaz de deducir sólo apelando a la primaria de la descomposición. Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Para su pregunta (1), si yo estoy entendiendo Neukirch la prueba correctamente, está aplicando su CRT para el ideal $c a_\mathfrak{p}^{-1} \mathfrak{a}$, que creo que es una integral ideal de $\mathcal{O}$.

Por lo tanto, podemos optar $a \in \mathcal{O}$ tal que $$a \equiv c (\mod ca_\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{a}\mathcal{O}_\mathfrak{p})$$ y

$$a \equiv 0 (\mod ca_\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{a}\mathcal{O}_\mathfrak{q})$$ para $\mathfrak{q} \neq \mathfrak{p}$.

Ahora considere la posibilidad de 2 casos: $a_\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{a}\mathcal{O}_\mathfrak{p} = \mathcal{O}_\mathfrak{p}$ o $a_\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{a}\mathcal{O}_\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{p}\mathcal{O}_\mathfrak{p}$. En el primer caso, tenemos que $\mathfrak{a}\mathcal{O}_\mathfrak{p} = a_\mathfrak{p}\mathcal{O}_\mathfrak{p}$, y hemos terminado.

En el último caso, tenemos $a \equiv c(\mod \mathfrak{p}\mathcal{O}_\mathfrak{p})$, pero desde $a$$c$$\mathcal{O}$,$a \equiv c(\mod \mathfrak{p})$, como se afirma por Neukirch.

Creo que esto contesta a tu pregunta (1).

No estoy seguro acerca de tu comentario (2). Tal vez usted puede elaborar sobre por qué crees que es suficiente para saber que $a \equiv c(\mod \mathfrak{p})$. Me interesaría saber.

Más tarde, además de

Con respecto a la OP PS comentario sobre el "fuerte CRT" teorema de la Proposición 12.3 en la pg. 74:

Como usted dice, Neukirch afirmó que si $\mathfrak{p} \supseteq \mathfrak{a}$ $\mathfrak{p}$ es la única que contiene el primer $\mathcal{O} \cap \mathfrak{a}\mathcal{O}_\mathfrak{p}$, y justifica esta apelando a la costumbre local de primer teorema de la correspondencia (Prop 11.1 en la página 65). Yo también no fue capaz de hacer este argumento de la obra, y como el OP, tuvieron que apelar a más hechos generales acerca de primaria ideales de álgebra conmutativa.