Entender cómo encontrar una base para el espacio de filas/columnas de alguna matriz A.

Question

Sólo necesito una verificación para encontrar la base de los espacios de las columnas y de las filas.

Si me dan una matriz A y me piden que encuentre una base para el espacio de filas, ¿es correcto el siguiente método?

-Reducir a forma de escalón de fila. Las filas con 1 a la cabeza serán los vectores base del espacio de filas.

Al buscar la base del espacio de columnas (dada alguna matriz A), ¿es correcto el siguiente método?

-Reducir a forma de escalón de fila. Las columnas con 1 a la cabeza correspondiente a la matriz original A serán los vectores base para el espacio de columnas.

Cuando se buscan las bases del espacio de filas/columnas, no es necesario tomar una transposición de la matriz original, ¿verdad? Simplemente reduzco a filas y utilizo la matriz reducida para obtener mis vectores base para el espacio de filas, y utilizo la matriz original para corresponder mis columnas de forma reducida con 1 a la izquierda para obtener la base para mi espacio de columnas.

Answer 1

Sí, tienes razón.

Tenga en cuenta que la forma de escalonamiento de las filas no tiene por qué dar lugar a "1s iniciales". es ' reducido/canónico forma de escalón de fila" que requiere esa forma.

Una vez reducida la matriz al conjunto de filas/columnas linealmente independientes a través de las transformaciones de fila, puede elegir entre los nuevos vectores reducidos con pivotes principales (1s o no), o los vectores correspondientes de la matriz original*.

*ver advertencia planteada por usuario84413

Answer 2

Su procedimiento es correcto, y me gustaría resumirlo:

Encontrar espacio en las filas

• Estrategia: hacer una eliminación gaussiana en la matriz M; las filas no nulas de la matriz reducida M' forman el conjunto que abarca el espacio de filas.
• Razón: 1) las operaciones elementales de fila no cambian el espacio de filas de M, ya que los vectores de fila son cambiados linealmente por las operaciones elementales de fila; 2)Las filas no nulas en un reducido forman su espacio de filas, lo que se puede demostrar $\sum_i c_i\vec{r_i}={0}\Rightarrow c_i=0,\forall i$ , lo que indica que estos vectores fila son independientes para formar el espacio fila.

Encontrar el espacio de las columnas

• Estrategia: 1)Puedes hacerlo por transposición. 2)O bien, hacer la eliminación gaussiana, tomar las columnas de $M$ correspondientes a las columnas con entradas principales en $M'$ .
• Razón de 2): $M'$ implica soluciones en las que las columnas sin entradas principales son la combinación lineal de otras, por lo que sólo tenemos que tomar las columnas con entradas principales en $M$ .