¿Existe la solución de $ x=\sum_{n=0}^\infty e^{-A_n/x}$?

Question

Generalmente cuando se trabaja con indefinido sumas, quiero trabajar fuera de la suma o si la convergencia. Pero ahora me encontré con un problema que de otra manera alrededor y estoy despistado...

Hay incluso una solución general de la $$ x=\sum_{n=0}^\infty e^{-A_n/x}$$ para $A_n$ donde $x$ es dado y real, $A_n >0\space\forall n$$\frac{dA_n}{dx}=0\space\forall n$?

Gracias

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Para hacer mi pregunta más clara para los comentaristas y otros, estoy buscando una sistemática de la secuencia de $A_n$ que, cuando se introduce en la ecuación anterior, los rendimientos de la $x$ y este debe mantener para todos (real) $x$.

Answer 1

No se puede hacer. Para la prueba, escriba $x:={1\over y}$. Entonces deberíamos $${1\over y}\ \equiv\ \sum_{n=0}^\infty e^{-A_n y}\qquad(*)\ ,$ $ decir todos $y\geq1$. En particular $\sum_{n=0}^\infty e^{-A_n}=1$, necesariamente $\lim_{n\to\infty} A_n=\infty$. Sigue que $\alpha:=\inf_n A_n>0$ y por lo tanto no puede tener %#% $ de #% esto muestra que el $$\sum_{n=0}^\infty e^{-A_n y}=\sum_{n=0}^\infty e^{-A_n} \ e^{-A_n(y-1)} \leq e^{-\alpha(y-1)} \qquad (y\geq1)\ .$ % todos $(*)$.

Answer 2

Ciertamente hay muchas soluciones. Como $x$ crece, el lado derecho disminuye monótonamente, para cualquier serie $A_n$ eso es convergente habrá un $x$ que resuelve la ecuación. Así que escoja cualquier #% series y $x$ #% que resolver el problema. Dado un % diferente $A_n$, sólo cambia tu favoritos $x$(s) para que funcione.

Por ejemplo, tome $A_n$. Si desea una solución para $x=1, A_n=\ln 2^{n+1}$, sólo disminuir cualquier conjunto de $x=2$ añadir lo suficiente para el lado derecho.

Answer 3

Divida ambos lados por $x$ para obtener:
%#% $ $$1 = \Sigma\frac{e^{-A_n/x}}{x},$ #%, El lado izquierdo es de 1 mientras que el lado derecho va a cero cada $x\to \infty$.

Esto podría dar una pista sobre qué $n$ no funcionará.