Factorización

Question

Quiero factorizar $a^2(b − c)^3 + b^2(c − a)^3 + c^2(a − b)^3$ . Por inspección , puedo ver que la sustitución de $b$ $a$ rendimientos $0$ $(a-b)$ es un factor . Del mismo modo $(c-a)$ $(b-c)$ son factores . Pero no puedo averiguar otros factores. Sí , sé que se puede encontrar usando la división larga , pero debe haber una manera fácil . Por favor, ayudar.

( El uso de wolfram alpha , yo sé que la factorización es $(a-b)(c-a)(b-c)(ab+ac+bc)$ , pero quiero saber cómo averiguar eso . ( sin división ) )

Edit : ver esta página para entender lo que quiero decir - mathnerds - ¿hay algún método similar para esta pregunta ?

Answer 1

Si por alguna razón usted no desea dividir los términos conocidos, pudo observar que

• El factor restante tiene grado 2;
• Es simétrica bajo permutaciones de las variables.

Esto indica que el último factor es de la forma $\alpha(a+b+c)^2 + \beta(a^2+b^2+c^2).$ puesto que las variables no parecen el cuarto poder en su expresión original, $\alpha+\beta=0$ y luego equiparar un coeficiente único es suficiente para que usted consiga $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=-\frac{1}{2}$.

Answer 2

Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, realizar la división y el resultado final es

$$-(a-b)(a-c)(b-c)(ab+ac+bc).$$

Answer 3

El restante factor después de dividir el polinomio $P$ $Q = (a-b)(b-c)(c-a)$ es homogénea de grado $2$ y es un polinomio simétrico en $a,b,c$ (porque $P$ y $Q$ son antisimétrica), por lo que puede ser expresado en términos de los polinomios simétricos elementales: debe ser $s (a + b + c)^2 + t (ab + bc + ac)$. Sustituto $a=0,b=1,c=-1$ $P = -2$, $Q = 2$, %#% que #% y $a+b+c = 0$, $ab + bc + ac= -1$. Sustituto $t = 1$ % hace $a=2,b=-3,c=-6$, $P = 0$ y $Q = -120$ a $ab + bc + ac = 0$. Por lo que debe ser $s = 0$.

Answer 4

E = es La expresión dada, es homogénea y cíclica en a, b y c, y es de grado 5.

p = (a - b)(b - c)(c - a) es cíclica de grado 3.

Si E = p.q, entonces p debe ser homogénea y cíclica en a, b y c, y es de grado 2.

El más general de la expresión de p es, a continuación,$m(a^2 + b^2 + c^2) + n(ab + bc + ca)$; para algunos m y n.

Por lo tanto, $E = (a - b)(b - c)(c - a)[m(a^2 + b^2 + c^2) + n(ab + bc + ca)]$

m y n se puede obtener mediante la comparación de los coeficientes. [Posteriormente, encontramos el siguiente es más simple. Véase también el problema # 465127.]

m y n también puede ser obtenido por la sustitución de 2 conjuntos diferentes de valores de a, b, y c de.