¿Qué es el bootstrapping elíptico?

Question

Leyendo sobre operadores diferenciales elípticos, he visto la frase bootstrapping elíptico en varios sitios, pero ninguno explica exactamente lo que significa. Sé que tiene algo que ver con la regularidad de las ecuaciones diferenciales elípticas.

¿Se refiere el bootstrapping elíptico a una colección de teoremas, a un método/técnica o sólo a un concepto vago?

O, más sucintamente:

¿Qué es el bootstrapping elíptico?

También me encantaría que me indicaran referencias que traten el bootstrapping elíptico con cierto detalle.

Answer 1

¿Qué es el bootstrapping elíptico?

Es un argumento inductivo que combina el levantamiento de la "regularidad elíptica" (y/o la incrustación de Sobolev) y el "bootstrap", lo que significa que estás explotando este levantamiento (o incrustación) muchas veces.

Un ejemplo sencillo: considere la ecuación $$ -\Delta u + \lambda u = f,\tag{1} $$ en un dominio suave, con datos suaves $f$ . Una solución débil $u$ de (1) tiene $H^1$ -regularidad. Ahora para $(-\Delta + \lambda I)$ es un operador elíptico, la regularidad elíptica dice que la segunda derivada completa de $L^2$ -puede limitarse sólo por la $\Delta u$ 's $L^2$ -norm (plus $u$ 's $L^2$ -norma): $$ \|u\|_{H^2(\Omega)} \leq C\left(\|\Delta u\|_{L^2(\Omega)} + \|u\|_{L^2(\Omega)}\right). $$ Esto dice $u$ obtendrá 2 levantamientos de regularidad de lo que sea $\Delta u$ es, en este caso es $\lambda u-f$ . Ahora que $\lambda u - f$ tiene una mayor regularidad, podemos decir: $$ \|u\|_{H^4(\Omega)} \leq C\left(\|\Delta u\|_{H^2(\Omega)} + \|u\|_{L^2(\Omega)}\right). $$ Por lo tanto $$ \|u\|_{H^{s+2}(\Omega)} \leq C\left(\|\Delta u\|_{H^s(\Omega)} + \|u\|_{L^2(\Omega)}\right). $$ Esto nos dice que podemos explotar la regularidad elíptica repetidamente para elevar la diferenciabilidad de $u$ . Se trata de un "argumento de arranque".

Ahora la integrabilidad: primero $u \in H^1= W^{1,2}$ si la dimensión $n$ es mayor que 2, entonces por incrustación de Sobolev $$ W^{1,2} \hookrightarrow L^{2^*}, \quad \text{where } 2^* = \frac{2n}{n-2} >2. $$ Por lo tanto, tenemos $\Delta u \in L^{2^*}$ que implica $ u\in W^{1,2^*}$ y nos limitamos a plantear la integrabilidad de $u$ un poco. Repitiendo la incrustación podemos elevar la integrabilidad de $u$ de nuevo si $2^* < n$ . Este es otro "argumento de arranque".

El ejemplo anterior es sólo un ejemplo artificial. En la investigación real sobre EDP, he visto en seminarios que la gente siempre utiliza este argumento para tratar la regularidad de un problema elíptico no lineal, por ejemplo $$ -\Delta u = f(x,u,\nabla u), $$ cuando $f$ cumple ciertas condiciones.

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Blog de Ngô Quoc Anh tiene varios ejemplos prácticos más para el argumento bootstrapping.

Caffarelli utilizó mucho el argumento del bootstrapping en sus artículos.

Answer 2

Ver la diapositiva sobre bootstrapping elíptico aquí para una respuesta sucinta y un breve debate. Básicamente, sabiendo que $\Delta u \in L_k^2$ le permite concluir $u \in L_{k+2}^2$ . (Aquí se utilizan subíndices para denotar la regularidad de $u$ .) La función armónica $u$ "se levanta por sus propios medios" en el sentido de que saber $u$ es armónico con una cierta regularidad conocida implica $u$ tiene una mayor regularidad porque $u$ es armónico .

Esa es la idea general. Aquí tienes $u$ ser suave porque $\Delta u = 0$ donde $\Delta$ es un operador elíptico y $0$ es suave. De forma más general, se puede obtener el Teorema de la Regularidad Elíptica, que dice que si $E$ es un operador elíptico de orden $2k$ y $f$ un $L^2$ una solución débil $u$ a $Eu = f$ tendrá al menos $2k$ derivadas débiles que son integrables al cuadrado.

Para un tratamiento más riguroso que incluya una demostración del Teorema de la Regularidad Elíptica, véase el Análisis Real de Folland, en su capítulo sobre los espacios de Sobolev y el Teorema de la Regularidad Elíptica.