Subgrupos de (Z,+) de orden n

Question

Estudiando grupos y subgrupos me encuentro con esta pregunta:

¿Existen subgrupos de orden $\mathbf 6 \mathbf 5$ en el grupo aditivo $(\Bbb Z$ , $+)$ ?

Yo respondería que no, porque un subgrupo de $(\Bbb Z,+)$ es el múltiplo de un número Natural $n $ y tiene la forma: $n\Bbb Z$ ={ $na|n \in \Bbb N, a \in \Bbb Z$ } y no tienen un orden finito.

Pero no estoy seguro de esta respuesta.

¿Podría alguien explicarme si estoy equivocado y por qué?

Gracias.

$\mathbf {edit}:$

Mi pregunta viene porque discutiendo con un compañero de curso argumentaba que existiendo Z/65Z en (Z,+), el grupo módulo 65 y tiene orden 65 por lo que estoy un poco confuso.

Answer 1

¡Tu pensamiento parece bueno! Intenta demostrar que cualquier subgrupo (no trivial) de $(\mathbb{Z}, +)$ es infinito como sigue:

Supongamos que existiera un subgrupo finito $G \leq (\mathbb{Z}, +)$ . Desde $G$ es finito y es un subgrupo de los números enteros, $G$ debe tener un elemento mayor; llámalo $n$ . Si $n \neq 0$ por cierre bajo adición e inversión debemos tener $n+n = 2n \in G$ y $-n \in G$ uno de los cuales (dependiendo de si $n < 0$ o $n > 0$ ) contradice la hipótesis de que $n$ era el elemento más importante. Si $n = 0$ tome el menor elemento distinto de cero $k \in G$ ( $k$ debe existir de nuevo ya que $G$ es finito) y observe $-k \in G$ de nuevo una contradicción. Así que $G$ no puede ser finito.

(Esto es realmente lo mismo que las sugerencias de que ningún elemento en $\mathbb{Z}$ tiene orden finito bajo adición, pero pensé que estaría bien ver una prueba).

Answer 2

Tu razonamiento es perfectamente correcto, el grupo cíclico infinito $(\mathbb{Z}, +)$ no tiene elementos de orden finito, por lo que no puede tener subgrupos cíclicos finitos. ¿Puedes demostrarlo ahora?

Desgraciadamente, el comentario de tu amigo es erróneo, pero se trata de un error común. No siempre es cierto que los grupos factoriales sean isomorfos a un subgrupo del grupo. Ten en cuenta que todo subgrupo de $\mathbb{Z}$ tiene índice finito (¿por qué?), por lo que todo grupo cociente propio es cíclico finito. Por lo tanto, el grupo factor es un subgrupo de $\mathbb{Z}$ si y sólo si el subgrupo normal asociado es el grupo entero o es el grupo trivial.

Pero el error es perfectamente comprensible. Porque es válido para grupos cíclicos finitos. ¿Puede ver por qué?