Si $[G:H]=n$, $g^{n!}\in H$ todos los $g\in G$.

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Deje $G$ ser un grupo y vamos a $H$ ser un subgrupo de índice finito de $G$. Deje $|G:H|=n$ Entonces se tiene: $g^{n!}\in H$ todos los $g\in G$.

¿Por qué es esto cierto?

Creo que no es muy difícil, pero no tengo idea en el momento.

Gracias!

Answer 1

Deje $G$ ley de la izquierda cosets de $H$ por la izquierda de la multiplicación, $$g: aH\longmapsto gaH.$$ Esto le da una acción de $G$ sobre un conjunto de $n$ elementos, por lo tanto induce un homomorphism $G\to S_n$. En particular, para cada $g\in G$, $g^{n!}$ debe estar en el núcleo, ya que $|S_n|=n!$. Pero el núcleo está contenida en $H$: si $g$ se encuentra en el núcleo, a continuación, $gaH = aH$ todos los $a\in G$, por lo tanto, en particular,$gH=H$, lo $g\in H$. Por lo tanto, para cada $g\in G$, $g^{n!}\in H$.

Answer 2

En caso de que alguien quería un buen nombre para el número mínimo, que es básicamente el obvio supongo, aunque yo creo que puede ser un poco sorprendente que el obvio supongo que es en realidad a la derecha.

Proposición: Si G es un grupo y H es un subgrupo de G, entonces el exponente de $G/\operatorname{Core}_G(H)$ es el menor entero positivo n tal que para todo g en G, $g^n \in H$.

Prueba: Supongamos que n es un entero positivo tal que $g^n \in H$ para todos los g en G. Vamos k en G, entonces $(g^{k^{-1}})^n \in H$. La conjugación por k, $g^n \in H^k$. En particular, $g^n$ está contenida en cada conjugado de H, no sólo H a sí mismo. Por lo tanto $g^n$ está contenido en $\operatorname{Core}_G(H) = \displaystyle \bigcap_{g\in G}H^g$, la más grande de la G-subgrupo normal de H. En particular, n es un múltiplo de la exponente del grupo de $G/\operatorname{Core}_G(H)$. Por el contrario, el exponente n de que el grupo $G/\operatorname{Core}_G(H)$ definitivamente satisface $g^n \in \operatorname{Core}_G(H) \leq H$. $\qquad \square$

Equivalentemente, si G es transitivo permutación grupo, entonces el menor entero positivo n tal que nth poder de cada elemento de G corrige el primer punto es el menor entero positivo n tal que nth poder de cada elemento de G revisiones de cada punto.

Answer 3

Tome $g\in G.$ Aplicar el principio del palomar a la $n+1$-tupla $g_0,\ldots,g_n,$ inductivamente definido por $g_0=e,$ $g_{i+1}=g.g_i.$

Usted encontrará $g_i$ $g_j$ en el mismo a la izquierda coset de $H$ $G,$ algunos $i,j=0,1,\ldots,n$ $i<j.$

En consecuencia,$g^{j-i}=g_jg_i^{-1}\in H,$, por tanto, a fortiori $g^{n!}\in H.$

Answer 4

Véase también mi post aquí

La proposición. Deje $H$ ser un no-trivial de los subgrupos del grupo finito $G$,$n = [G:H]$. Suponga que $\gcd(|H|,n)=1$. A continuación, los siguientes son equivalentes.

(a) Para todos los $g \in G$: $g^n \in H$.
(b) $H \unlhd G$.

Answer 5

Esta es una pregunta fácil si usted comienza mostrando que $g^n \in H$. En consecuencia, $g$ elevado a la potencia de cualquier múltiplo de $n$ también está en H (desde $[G:H] = n$). Es solo una idea.