Obtener las ecuaciones de un gráfico de red

Question

Estoy aprendiendo sobre Análisis de redes en el Álgebra Lineal y necesito ayuda para saber cómo obtener las ecuaciones de este gráfico:

Las flechas representan la cantidad de partículas que van en una dirección dada.

La parte de atrás del libro me dice que son:

$$x_1 + x_2 = 20$$ $$x_3 + 20 = x_4$$ $$x_2 + x_3 = 20$$ $$x_1 + 10 = x_5$$ $$x_5 + 10 = x_4$$

Desde mi entender, si nos fijamos en la primera ecuación, hay veinte partículas de ir a la $1$ y se puede dividir en dos direcciones. Así que, si se añaden $x_1$$x_2$, que debe ser igual a veinte como es imposible ir más allá de eso.

Incluso si estoy correctamente el análisis de la primera ecuación, no entiendo el resto de las ecuaciones que el libro ofrece. Por ejemplo, ¿cómo se $x_3 + 20 = x_4$? ¿Qué $x_3$ $20$ tienen que ver con $x_4$?

Cualquier ayuda se agradece. Gracias!

Answer 1

Reescribí las ecuaciones para hacerlo más claro:

$$\begin{array}{rlcl} \text{(node)} & \sum\text{outgoing} &=& \sum\text{incoming} \\[6pt] \hline (1) & x_1 + x_2 &=& 20 \\ (2) & x_3 + 20 &=& x_4 \\ (3) & 10 + 10 &=& x_2 + x_3 \\ (4) & x_1 + 10 &=& x_5 \\ (5) & x_4 &=& 10 + x_5 \\ \end{array}$$

Los números entre paréntesis de la izquierda corresponden a los nodos de la red. El lado izquierdo de cada ecuación es la suma de las flechas salientes en ese nodo. El lado derecho de cada ecuación es la suma de las flechas entrantes en ese nodo.

Como Johanna señaló en la otra respuesta, esto se conoce como de Kirchoff (actual) de la ley. Se utiliza en el análisis de circuitos en ingeniería eléctrica: la corriente de entrada a un nodo es igual a la saliente actual. También se ve en la teoría de grafos a la hora de estudiar los flujos. En particular, la nada-cero de los flujos (donde no hay flechas tienen un "$0$" por su valor) están estrechamente relacionados con el gráfico para colorear.

Answer 2

Las ecuaciones se encuentran aplicando ley de Kirchoff: la suma de los valores en cuenta a igual a la suma de los valores que sale en cada vértice. Para vértice $2$, usted tiene $20$ $x_3$ las partículas y salir, así $20 +x_3$ tiene a la igualdad de lo que está pasando en el vértice, es decir, $x_4$. Por lo tanto ese vértice le da la ecuación $x_3 + 20 = x_4$. Entonces hacen el mismo análisis exacto a cada vértice para obtener cada una de las ecuaciones. ¿Tiene más sentido ahora?