Acabo de leer este artículo, que dice que si usted sólo mezcla una baraja de 52, estará sobre todo creando un arreglo que ningún ser humano jamás ha visto antes.
Pero esto no me parece bien ya que cada vez que creamos un nuevo arreglo, éste es ahora un candidato a suceder, así que cada vez que no, las probabilidades aumentan.
¿Cómo podemos matemáticamente revisar esta afirmación?
El número de arreglos es $52!$. El uso de una herramienta como Wolfram Alpha, o usando la aproximación de Stirling,o incluso una calculadora científica, nos encontramos con que $52!$ es mayor que $8\times 10^{67}$.
Suponga que, para colmo, que no han sido $10$ millones de personas en la Tierra para $10000$ años, cada uno de barajar y repartir una baraja de naipes a cada segundo. En $10000$ años, hay menos de $3.2\times 10^{11}$ segundos. Multiplicando por $10$ miles de millones que nos pone a $3.2\times 10^{21}$ barajan cubiertas, lejos de $8\times 10^{67}$, lo cual es un serio gran número. Así que una muy pequeña fracción de las manos posibles ha sido tratada.
Ahora es probablemente intuitivamente razonable que si todas las órdenes son igualmente probables, entonces con probabilidad cercana a $1$, en todos los órdenes han sido diferentes. Pero la intuición puede ser poco fiable (testigo el Problema del Cumpleaños). Por lo tanto, hacer una descripción más detallada de estimación. Resulta que el hecho relevante es que el cuadrado de $3.2\times 10^{21}$, aunque enorme, es una muy pequeña fracción del número de posibles ofertas.
Matemática detalles: Supongamos que hay $N$ arreglos diferentes de tarjetas, y que podemos barajar y repartir las cartas a cabo de forma independiente $n$ veces $n$ es menor que $N$. Entonces la probabilidad de que todos los resultados son diferentes es $$\frac{N(N-1)(N-2)\cdots(N-n+1)}{N^n}.$$ La parte superior es más grande que $N-n$, por lo que la probabilidad es más grande que $$\left(1-\frac{n}{N}\right)^n.$$ Utilizando el hecho de que $\left(1-\frac{x}{k}\right)^k$ es de aproximadamente $e^{-x}$, encontramos que la probabilidad de que los resultados son diferentes es $\gt e^{-n^2/N}$.
Deje $N=52!$, y deje $n$ ser nuestro absurdamente alto número de $3.2\times 10^{21}$ baraja. Si $x$ está cerca de a$0$, $e^{-x}$ es de aproximadamente $1-x$. Por lo tanto la probabilidad de la baraja son todos diferentes es mayor que $1-\frac{n^2}{N}$. (Una estimación más da que es de aproximadamente $1-\frac{n^2}{2N}$.) Este es un número que está muy cerca de a $1$. La probabilidad ha habido uno o más repetición, incluso con $n$ extremadamente sobrevalorado, está a menos de $10^{-25}$.
La probabilidad de que al menos una coincidencia crece rápidamente como $n$ crece. Ya en $n=10^{33}$, que es aproximadamente el $6\times 10^{-3}$, no grandes, pero ciertamente no despreciable.
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