¿Son las extremas de $h(x)$ global?

Question

Es bien sabido que $li(x)$, la integral logaritmo es una muy buena aproximación de la $\pi(x)$, el nunmber de números primos que no exceda $x$.

Así, una muy buena aproximación de la probabilidad de que un número aleatorio con $x$ dígitos es un número primo, está dada por

$$f(x)=\frac{li(10^x)-li(10^{x-1})}{10^x-10^{x-1}}$$

Me di cuenta de que la función

$$g(x)=\frac{2000x}{(2000x^2-646x-141)\ln(10)}$$

es una excelente aproximación a $f(x)$ , utilizando una interpolación de la herramienta en un muy buen matemáticas-sitio de Arndt Brünner.

Definamos $h(x):=f(x)-g(x)$

Parece que para $x\ge 11$, la función de $h(x)$ mínimo sobre $-4.334\cdot 10^{-8}\ $ y máxima alrededor de $2.1749\cdot 10^{-8}\ $.

Son estas extremas global extremas ? Podemos demostrar rigurosamente que $|h(x)|<4.335\cdot 10^{-8}\ $ todos los $x\ge 11$ ?

Traté de verificar esto con Wolfram Alpha, pero la función parece ser demasiado complicado. Alguna idea ? El límite de $h(x)$, $x$ tiende a $\infty$, debería ser $0$.

Answer 1

Tanto en$f(x)$$g(x)$$0$$x \to \infty$, lo $h(x)$ tiene sin duda un global de max y min en algún lugar de $[11,\infty)$. Todo lo que necesitas hacer es encontrar la $N$ de manera tal que, dicen, $|f(x)| < 10^{-8}$$|g(x)| < \cdot 10^{-8}$$x \ge N$, y, a continuación, mostrar que su máximo y mínimo son el máximo y el mínimo en $[11, N]$. Este es, en principio, de un número finito de la computación (aunque tal vez tedioso): un número finito de lo suficientemente precisa como aproximaciones de $h$ en algunos puntos y límites en $h'$ en algunos intervalos (tal vez usando aritmética de intervalos) será suficiente.

Los cálculos preliminares indican que la $N \approx 4.34 \cdot 10^7$.